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Problème 1

Deux petites sphères de même masse mm sont suspendues au même point par des fils de longueur ll et se touchent initialement. On donne à chacune la même charge qq ; elles se repoussent et atteignent l'équilibre à un petit angle θ\theta par rapport à la verticale. Exprimer qq en fonction de mm, ll, θ\theta. On prend g=9.8 m s−2g=9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}} et k=1/(4πϵ0)k=1/(4\pi\epsilon_0), constante de Coulomb ; la taille des sphères est négligeable devant leur séparation, la répulsion est horizontale et les deux fils sont inclinés symétriquement d’un angle θ\theta par rapport à la verticale. (a) Déduire la force électrique de l’équilibre. (b) Exprimer la distance entre centres avec l,θl,\theta et déterminer exactement la charge. (c) Pour theta≪1\\theta\ll1 rad, établir l’approximation des petits angles et vérifier ses dimensions.
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
FC=mgtan⁡θ,r=2lsin⁡θ,q=2lsin⁡θmgtan⁡θk≈2lθ3/2mgk\boxed{F_C=mg\tan\theta,\quad r=2l\sin\theta,\quad q=2l\sin\theta\sqrt{\frac{mg\tan\theta}{k}}\approx2l\theta^{3/2}\sqrt{\frac{mg}{k}}}
problems.proof.analysis

On compare le résultat exact à la limite des petits angles ; le radicand a bien la dimension d’une charge au carré.