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Problème 1

Deux petites sphères de même masse mm sont suspendues au même point par des fils de longueur ll et se touchent initialement. On donne à chacune la même charge qq ; elles se repoussent et atteignent l'équilibre à un petit angle θ\theta par rapport à la verticale. Exprimer qq en fonction de mm, ll, θ\theta. On prend g=9.8 m s−2g=9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}} et k=1/(4πϵ0)k=1/(4\pi\epsilon_0), constante de Coulomb ; la taille des sphères est négligeable devant leur séparation, la répulsion est horizontale et les deux fils sont inclinés symétriquement d’un angle θ\theta par rapport à la verticale. (a) Déduire la force électrique de l’équilibre. (b) Exprimer la distance entre centres avec l,θl,\theta et déterminer exactement la charge. (c) Pour theta≪1\\theta\ll1 rad, établir l’approximation des petits angles et vérifier ses dimensions.
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
kq2r2=mgtan⁡θ≈mgθ ⇒ q≈4mgl2θ3kk\frac{q^2}{r^2} = mg\tan\theta \approx mg\theta \ \Rightarrow\ q \approx \sqrt{\frac{4mgl^2\theta^3}{k}}
problems.proof.analysis

En substituant FC=kq2/r2F_C = kq^2/r^2 et r≈2lθr\approx 2l\theta dans FC=mgtan⁡θ≈mgθF_C = mg\tan\theta \approx mg\theta (petit angle) et en résolvant en qq, on trouve q∝θ3/2q \propto \theta^{3/2} — une relation non triviale, que l'on peut vérifier expérimentalement en mesurant θ\theta pour différentes charges.

problems.proof.pitfall. Utiliser les radians pour sin⁡θ≈θ\sin\theta\approx\theta et prendre la séparation des centres égale à 2lsin⁡θ2l\sin\theta.