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Problème 1

Deux petites sphères de même masse mm sont suspendues au même point par des fils de longueur ll et se touchent initialement. On donne à chacune la même charge qq ; elles se repoussent et atteignent l'équilibre à un petit angle θ\theta par rapport à la verticale. Exprimer qq en fonction de mm, ll, θ\theta. On prend g=9.8 m s−2g=9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}} et k=1/(4πϵ0)k=1/(4\pi\epsilon_0), constante de Coulomb ; la taille des sphères est négligeable devant leur séparation, la répulsion est horizontale et les deux fils sont inclinés symétriquement d’un angle θ\theta par rapport à la verticale. (a) Déduire la force électrique de l’équilibre. (b) Exprimer la distance entre centres avec l,θl,\theta et déterminer exactement la charge. (c) Pour theta≪1\\theta\ll1 rad, établir l’approximation des petits angles et vérifier ses dimensions.
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
r≈2lsin⁡θ≈2lθ (θ small, in radians)r \approx 2l\sin\theta \approx 2l\theta \ (\theta \ \text{small, in radians})
problems.proof.analysis

D'après la géométrie du triangle isocèle, la distance rr entre les sphères vaut 2lsin⁡θ2l\sin\theta. Pour de petits angles, sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta (en radians), ce qui simplifie l'expression.