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Problème 2

Un condensateur initialement déchargé C=100 μFC=100\ \mu\mathrm F est connecté à t=0t=0 en série avec une résistance R=10 kΩR=10\ \mathrm{k\Omega} et une source idéale de f.é.m. E=12E=12 V. On note q(t)q(t) la charge et i(t)=q˙(t)i(t)=\dot q(t) le courant. (a) Déterminer la constante de temps τ\tau et la charge finale q∞q_\infty. (b) Écrire les expressions de q(t)q(t) et i(t)i(t). (c) Trouver l'instant où la charge atteint 90%90\% de sa valeur finale et le courant à cet instant.
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
1−e−t90=0.90⇒t90=τln⁡10=2.30 s1-e^{-t_{90}}=0.90\Rightarrow t_{90}=\tau\ln10=2.30\ \mathrm s
problems.proof.analysis

On pose q/q∞=0.90q/q_\infty=0.90, ce qui donne e−t/τ=0.10e^{-t/\tau}=0.10. Le logarithme naturel donne l'instant ; avec τ=1\tau=1 s, il vaut simplement ln⁡10\ln 10.

problems.proof.pitfall. L'instant à 90 % n'est pas 0.9τ0.9\tau : l'approche exponentielle ralentit, et il faut τln⁡10\tau\ln 10.