分析力学

广义坐标与自由度

广义坐标在计入约束后描述系统构型；独立坐标的数目就是自由度。

描述单摆不必使用三个独立笛卡尔坐标：不可伸长的细线和固定悬点使摆球沿圆弧运动，只需角度 $\theta$。合适的坐标选择能将约束直接纳入描述。

完整约束

完整约束是坐标（也可能包括时间）之间的方程，例如平面单摆的 $x^2+y^2=l^2$。一个方程约束两个笛卡尔坐标，因此剩下一个独立坐标。通常不可积分的速度约束称为非完整约束。

用一个角度替代 $x,y$ 会自动满足摆长不变。多体系统的广义坐标也可以是关节角、距离或集体变量，不一定是以米计的几何长度。

快速检测

可将允许的构型看作构型流形上的点。若完整约束写为 $f_a(\mathbf x,t)=0$，雅可比矩阵 $\partial f_a/\partial x_i$ 可在局部识别独立约束，其秩决定流形的局部维数。对于随时间变化的约束，允许的构型集合本身也在运动，因此允许速度必须满足 $\sum_i(\partial f_a/\partial x_i)\dot x_i+\partial f_a/\partial t=0$。只要能独立确定构型，角度、弧长和笛卡尔坐标都可以作为坐标。

空间中的两个自由质点有六个坐标；固定它们之间的距离施加一个独立约束，因此剩下五个自由度。选用质心坐标以及合适的角度和相对坐标，可以让约束更清楚。