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分析力学

欧拉—拉格朗日方程

欧拉—拉格朗日方程从拉格朗日量导出运动方程，并适用于每个广义坐标。

描述系统时可选用适合约束的坐标，而不必使用全部笛卡尔坐标。作用量驻定时，这些坐标如何演化由欧拉—拉格朗日方程决定。

ddt∂L∂q˙i−∂L∂qi=0,i=1,…,n\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0, \qquad i=1,\ldots,n

定义: 广义运动方程

qiq_i、q˙i\dot q_i 分别为广义坐标和广义速度。若 L=T−VL=T-V 不显含时间，能量通常守恒。存在非保守力时，广义形式为 d(∂L/∂q˙i)/dt−∂L/∂qi=Qi(nc)d(\partial L/\partial\dot q_i)/dt-\partial L/\partial q_i=Q_i^{(nc)}。

观察单摆的相空间。调整初始条件和摆长，轨迹依照拉格朗日方程演化。

例：单摆

L=12ml2θ˙2−mgl(1−cos⁡θ),θ¨+glsin⁡θ=0L=\frac12 ml^2\dot\theta^2-mgl(1-\cos\theta), \qquad \ddot\theta+\frac gl\sin\theta=0

取 q=θq=\theta。动能为 T=12ml2θ˙2T=\tfrac12 ml^2\dot\theta^2，以最低点为零势能时 V=mgl(1−cos⁡θ)V=mgl(1-\cos\theta)。代入 L=T−VL=T-V 得到非线性运动；仅在小角度下可近似 sin⁡θ≃θ\sin\theta\simeq\theta。

例题: 初始角加速度

摆长 l=1l=1 m 的单摆从 θ=0.10\theta=0.10 rad 处由静止释放。取 g=9.8g=9.8 m/s²，求初始角加速度。

解答

θ¨=−(g/l)sin⁡θ=−9.8sin⁡(0.10)≈−0.98\ddot\theta=-(g/l)\sin\theta=-9.8\sin(0.10)\approx-0.98 rad/s²；负号表示加速度指向平衡位置。

快速检测

若 LL 不显含坐标 qjq_j，该坐标称为循环坐标，欧拉—拉格朗日方程给出 dpj/dt=0d p_j/dt=0，其中 pj=∂L/∂q˙jp_j=\partial L/\partial\dot q_j。这使我们可以在求解运动方程前先找出守恒量。例如在中心势中，方位角不显含于拉格朗日量，因此其共轭角动量守恒。合法的坐标变换不会改变物理内容，但必须一致地变换速度和拉格朗日量。

在一维情况下，L=12mx˙2−V(x)L=\tfrac12m\dot x^2-V(x) 导出 mx¨=−dV/dxm\ddot x=-dV/dx，即牛顿第二定律。这一等价关系是有用的检验：拉格朗日方法并不改变预测，而是在坐标和约束较多时更有效地组织方程。

单摆的自然广义坐标是什么？

近似 sin⁡θ≈θ\sin\theta\approx\theta 何时成立？

参考文献

  1. Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics