分析力学

哈密顿正则方程、相空间

哈密顿力学用正则坐标—动量对描述动力学；相空间轨迹满足一阶微分方程。

每个自由度的状态由(q,p)表示。哈密顿量H(q,p,t)通过正则方程生成运动。

简谐振子

对于不显含时间的H=p²/(2m)+mω²q²/2，能量H守恒。等能轨道是(q,p)平面中的椭圆；p的符号决定经过各点时的运动方向。

正则坐标与正则变换

变量变换$(q,p)\mapsto(Q,P)$若保持辛结构，就是正则变换，因此哈密顿方程在新变量中保持原形式。例如剪切变换$Q=q,\ P=p+\alpha q$的雅可比行列式为1，属于正则变换。它会改变相轨迹形状，但保持有向面积。

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对相空间上的两个函数，泊松括号定义为 $\{F,G\}=\sum_i(\partial F/\partial q_i\,\partial G/\partial p_i-\partial F/\partial p_i\,\partial G/\partial q_i)$。沿哈密顿轨道有 $dF/dt=\partial F/\partial t+\{F,H\}$。因此，没有显含时间的量若与 $H$ 的泊松括号为零，就是守恒量。这一结构也解释了正则变换为何保持方程形式，并构成启发量子化的经典框架。

对于 $H=p^2/(2m)+m\omega^2q^2/2$ 的振子，哈密顿方程给出 $\dot q=p/m$ 和 $\dot p=-m\omega^2q$。消去 $p$ 可恢复 $\ddot q+\omega^2q=0$。这对一阶方程描述的运动与二阶拉格朗日方程相同，同时揭示了相空间中的状态结构。