分析力学

哈密顿驻定作用原理

在固定两端点的微小变分下，真实轨迹使作用量 S = ∫L dt 取驻值。

牛顿力学追问什么力产生加速度。分析力学提出另一问题：在连接相同端点状态的所有可能路径中，哪条路径使一个时间积分量取驻值？这个量就是作用量。

S[q]=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t)\,dt, \qquad \delta S=0

定义: 作用量与驻定性

对适当的保守系统，拉格朗日量为 $L=T-V$ （动能减势能）。作用量 $S$ 的单位是 J·s。条件 $\delta S=0$ 表示一阶变分为零，并不意味着 $S$ 总取最小值；轨迹也可能对应极大值或鞍点。

拖动路径中点改变轨迹，并将其作用量与连接相同端点的驻定轨迹比较。

从原理到运动方程

令路径变为 $q(t)\to q(t)+\delta q(t)$ ，并保持 $\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$ 。对含 $\delta\dot q$ 的项分部积分，可将导数从变分上移开。

\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)\delta q\,dt=0

由于区间内部的 $\delta q(t)$ 任意，其系数必须为零，于是得到欧拉—拉格朗日方程。取 $L=\tfrac12m\dot x^2-V(x)$ 时，它化为 $m\ddot x=-dV/dx$ ，即牛顿第二定律。

例题: 自由粒子

质量为 $m$ 的粒子在无外力时用 $2$ s 从 $x=0$ 到达 $x=2$ m。求其经典轨迹。

解答

当 $V=0$ 时，欧拉—拉格朗日方程给出 $m\ddot x=0$ 。速度恒定，因此以秒计时有 $x(t)=t$ m。

快速检测

令路径作变分 $q(t)\mapsto q(t)+\epsilon\eta(t)$ ，并令 $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ ，驻定条件便很具体。展开到一阶并分部积分可得 $\delta S=\int_{t_1}^{t_2}[\partial L/\partial q-d(\partial L/\partial\dot q)/dt]\eta(t)\,dt$ 。由于区间内部的 $\eta$ 任意，方括号内必须为零，因此驻定作用导出欧拉—拉格朗日方程。固定端点不可忽略；若端点可以自由变化，还必须施加额外的自然边界条件。

经典轨迹满足什么变分条件？

在 $S=\int Ldt$ 中，作用量的单位是什么？

参考文献

Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics