经典统计力学
统计系综：微正则与正则
统计系综是在给定宏观约束下，用于描述微观态概率的一组概念性系统副本。
统计系综是在给定宏观约束下，用于描述微观态概率的一组概念性系统副本。
定义: 物理量与含义
微正则系综固定 E、V、N，在允许的能量范围内等概率。正则系综固定 T、V、N，与热浴交换能量并采用玻尔兹曼权重；β=1/(kBT)，Z=Σᵣe⁻ᵝᴱʳ。系综是计算宏观平均的概率模型，并非实际同时存在的许多副本。
定量关系
例题: 例题
正则系综中两个态的能量为 E₀=0、E₁=2kBT。求 P₁/P₀。
解答
P₁/P₀=e^{−(E₁−E₀)/(kBT)}=e⁻²≈0.135。
例题: 例：正则系综中的能量概率
考虑能量为 0 和 ε 的两个能级，简并度分别为 g₀=1、g₁=3。正则系综中，能级 ε 的总概率还要计入简并度：P₁/P₀=3e^(−βε)。当 ε=2kBT 时，该比值为 3e⁻²≈0.406；归一化后 P₁≈0.289、P₀≈0.711。因此，高能级若有较多微观态，也可能与低能级竞争。路德维希·玻尔兹曼开创了热力学的概率解释。
宏观物理量可由系综平均求得，例如 ⟨E⟩=−∂ln Z/∂β，能量方差为 Var(E)=∂²ln Z/∂β²=kBT²C_V。因此，配分函数同时编码平衡热力学和系统对温度变化的响应。对具有短程相互作用的大系统，正则与微正则系综对局域观测量通常给出相同结果。在小系统、长程相互作用或一阶相变附近，两种系综可能有差异，需要谨慎处理能量涨落和相共存。大正则系综可理解为小子系统与其余部分交换能量，而其余部分充当热库。在热力学极限下，相对涨落减小，系综平均因而能代表测量值。配分函数还给出 Helmholtz 自由能 F=−kBT ln Z，将概率描述与热力学联系起来。系综结果一致并不意味着每个微观态的概率完全相同。应选择与实验约束相符的系综。系综是概率模型，并非物理副本。
快速检测
正则系综中固定什么，系统可以交换什么？
微正则系综中，窄能量窗内的可及态赋予什么概率？
参考文献
- Charles Kittel and Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics
- L. D. Landau and E. M. Lifshitz (1980). Statistical Physics