凝聚态物理学

玻色–爱因斯坦统计

玻色–爱因斯坦分布给出热平衡下玻色态的平均占据数。玻色子不受泡利不相容原理限制，可以共享同一状态；在合适密度和温度下可出现基态的宏观占据。

平衡态的占据取决于能量和化学势。玻色子的单态粒子数不受泡利原理限制；能量从上方趋近化学势时，分母趋于零。

n̄ᵢ = 1 / (exp[(εᵢ − μ)/(kBT)] − 1)

定义: 玻色–爱因斯坦分布

n̄ᵢ 是能量为 εᵢ 的状态的平均占据数；μ 为化学势，且 μ ≤ 最低能量 ε₀。分母中的减号将其与费米子分布区分开。

调节温度和密度，探索量子占据及相关物理量。

温度极限与凝聚

高温低密度时 n̄ᵢ ≪ 1，分布趋近麦克斯韦–玻尔兹曼形式。对于均匀三维理想玻色气体，低于临界温度后，超过激发态容量的粒子可占据基态，即玻色–爱因斯坦凝聚。

λₜ = h / √(2πmkBT), n λₜ³ ≳ 2.612

λₜ 是热德布罗意波长。nλₜ³ 达到约1时集体量子效应显著；2.612适用于均匀三维理想玻色气体的凝聚阈值。相互作用和陷阱几何会改变具体结果。

例题: 例题

某玻色模满足 ε−μ = kBT ln 3，求其平均占据数。

解答

n̄ = 1/(e^(ln 3)−1)=1/2。这是系综平均，单次测量不一定为整数。

更深入的表述使用逸度 $z=e^{\mu/(k_BT)}$ 和巨正则配分函数。每个模式的配分函数为 $\mathcal Z_i=(1-ze^{-\beta\epsilon_i})^{-1}$ ；对化学势求导可得平均占据数。当 $z$ 趋近允许的最大值时，激发态无法在温度和密度不变的条件下容纳更多粒子。有限系统中的转变会变得平滑；凝聚指基态出现宏观占据，而非绝对奇点。

快速检测

当 ε−μ=kBT ln 3 时，玻色平均占据数是多少？

相应分布的分母使用哪个符号？

参考文献

Landau, Lifshitz (1980). Statistical Physics
Charles Kittel, Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics