经典统计力学

能量均分定理

在经典平衡中，哈密顿量内每个独立的二次型自由度对平均能量贡献 kBT/2。

\left\langle x\frac{\partial H}{\partial x}\right\rangle=k_B T, \quad H_x=ax^2\Rightarrow\langle H_x\rangle=\frac12k_BT

定义: 物理量与含义

该结论适用于经典平衡中的连续变量和独立二次能量项；例如每个动量分量 p²/(2m) 贡献 kBT/2。经典谐振子含一个动能项和一个势能项，合计 kBT。低温量子效应会使模式“冻结”，因此不能将经典定理外推至所有温度。

Đóng góp của các bậc tự do

定量关系

\langle E_{\rm translation}\rangle=\frac32k_BT, \quad \langle E_{\rm oscillator}\rangle=k_BT

例题: 例题

单原子理想气体有 3 个平动自由度。按均分定理，每个粒子的平均动能是多少？

解答

三个二次动量分量贡献 3(kBT/2)=3kBT/2。

例题: 例：单原子气体的摩尔热容

1 mol 单原子理想气体有三个二次型平动动能项。能量均分给出 U=3RT/2，因此 C_V=(∂U/∂T)_V=3R/2≈12.5 J·mol⁻¹·K⁻¹。该结论假设气体稀薄且处于经典区；温度足够低时，离散的量子平动能级不能充分激发，热容会低于经典预测。路德维希·玻尔兹曼为这一经典结果奠定了统计基础。

该定理可由平衡积分得到：若坐标 x 的能量项为 ax²，其玻尔兹曼权重正比于 e^(−βax²)，平均后有 ⟨ax²⟩=1/(2β)=kBT/2。每个独立的二次型坐标都作此贡献；约束或非二次项则会改变结果。例如，四次势 x⁴ 不是二次自由度，贡献并不恰好等于 kBT/2。若模型有 f 个独立二次项，平均内能为 fkBT/2，每摩尔经典热容为 fR/2。它可用作振子模型高温极限的检验基准。若离散能级不可忽略或系统尚未达到热平衡，均分定理便不再适用。随着温度升高，量子贡献会逐渐显现。这解释了高温下的杜隆–珀蒂定律；低温热容下降则需用量子力学处理。

快速检测

经典平衡中，一个独立二次能量项的平均贡献是多少？

经典谐振子有两个独立二次项。平均总能量是多少？

参考文献

Charles Kittel and Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics
L. D. Landau and E. M. Lifshitz (1980). Statistical Physics