经典统计力学

麦克斯韦–玻尔兹曼分布

平衡经典理想气体的分子速度服从麦克斯韦–玻尔兹曼分布；速率分布还包含态密度因子。

f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/(2k_B T)}

定义: 物理量与含义

三维速度矢量分布的各分量为高斯分布；乘以球壳因子 4πv² 得到速率密度 f(v)。最概然、平均和方均根速率分别为 √(2kBT/m)、√(8kBT/πm)、√(3kBT/m)。该模型假设稀薄气体、热平衡和经典极限。

Phân bố tốc độ và nhiệt độ

定量关系

v_{\rm mp}=\sqrt{2k_BT/m}, \quad v_{\rm rms}=\sqrt{3k_BT/m}

例题: 例题

温度不变，将分子质量 m 换为 4m，方均根速率如何变化？

解答

由 v_rms=√(3kBT/m)，质量变为四倍使方均根速率减半。

例题: 例：估算氮分子速率

在 T=300 K 时，取一个 N₂ 分子的质量 m≈4.65×10⁻²⁶ kg。最概然速率为 v_mp=√(2kBT/m)≈422 m·s⁻¹，方均根速率为 v_rms=√(3kBT/m)≈517 m·s⁻¹。由于速率分布右偏，高速尾部使方均根速率高于最概然速率。路德维希·玻尔兹曼推动了对平衡气体进行统计描述的观点。

速度矢量分布是三维速度空间中的概率密度，而 f(v)dv 表示速率处于 v 到 v+dv 之间的概率。v² 因子使速率密度在 v=0 处为零，尽管每个速度分量的分布都在零处达到峰值。升高温度会使曲线变宽、峰值移向高速；固定 T 增大分子质量则使峰值移向低速。该定律适用于经典平衡，不描述量子简并效应。由于 f(v) 已归一化，从零到无穷的曲线下面积为 1；狭窄速率区间内约有 Nf(v)dv 个分子。平均速率和最概然速率是不同统计量，不可混为一谈。即使单个分子因碰撞不断改变轨迹，测量大量分子仍会再现这一分布。速度统计把分子运动与可测量的压强和热传导联系起来。这是气体动理论的基础。

快速检测

温度不变，分子质量变为四倍，方均根速率如何变化？

麦克斯韦速率分布中，来自三维速度空间态密度的因子是什么？

参考文献

Charles Kittel and Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics
L. D. Landau and E. M. Lifshitz (1980). Statistical Physics