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量子力学

薛定谔方程

描述量子波函数如何随时间演化的基本方程,是整个量子力学的基础。

薛定谔方程是量子力学的基本方程,其作用类似于经典力学中的牛顿第二定律:它告诉我们量子系统的波函数 ψ\psi 如何随时间演化。

iℏ∂ψ(x,t)∂t=−ℏ22m∂2ψ(x,t)∂x2+V(x)ψ(x,t)i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\psi(x,t)

左边描述波函数随时间的演化。右边是作用于 ψ\psi 的哈密顿算符 H^\hat{H},由动能项(空间二阶导数——ψ\psi 起伏越剧烈,动能越大)和势能项 V(x)V(x) 组成。这是含时方程;当系统处于定态(能量 EE 确定)时,有更简单的不含时形式:H^ψ=Eψ\hat H \psi = E\psi。

定义: 波函数及其概率诠释

波函数 ψ(x,t)\psi(x,t) 在空间每一点都是一个复数,不能直接观测。可测量的是 ∣ψ(x,t)∣2|\psi(x,t)|^2——在时刻 tt、位置 xx 处找到粒子的概率密度(玻恩诠释,1926年)。作为概率,ψ\psi 必须满足归一化条件 ∫∣ψ∣2 dx=1\int |\psi|^2\,dx = 1。

这是上述方程的真实数值解(分步傅里叶法),而不是卡通动画。试试"势垒隧穿"模式,看看只有量子力学才能预言的效应。

隧穿:粒子越过经典物理所禁止的区域

考虑能量为 EE 的粒子接近高度为 V0>EV_0 > E 的势垒。按经典物理,它必定被弹回——没有足够的能量翻越势垒。但薛定谔方程的解表明,波函数在势垒内部并不会突然消失,而是呈指数衰减,因此一小部分仍会"泄漏"到另一侧——尽管粒子从未有足够的能量"越过顶端",它仍以非零的概率出现在势垒之后。

隧穿并非数学上的奇谈:它解释了放射性原子核的 α 衰变,是扫描隧道显微镜(STM)的工作原理,也是极小晶体管中漏电流的来源。

例题: 为什么宏观物体不会出现可见的隧穿

如果隧穿是真实的,为什么我们在日常生活中从未见过滚动的球"穿过"墙壁?

解答

隧穿概率随粒子质量和势垒厚度呈指数衰减。对于一个球(质量约为电子的 102310^{23} 倍),这个概率小到几乎为零——要看到一次,需要等待远超宇宙年龄的时间。只有对质量在电子或质子量级的粒子,这一效应才显著。

对与时间无关的哈密顿量，分离变量解为 ψn(r,t)=ϕn(r)e−iEnt/ℏ\psi_n(\mathbf r,t)=\phi_n(\mathbf r)e^{-iE_nt/\hbar}。尽管波函数相位变化，概率密度 ∣ψn∣2|\psi_n|^2 保持定常；能量本征态的叠加通常产生随时间变化的密度。哈密顿量决定能谱，其本征态满足问题的边界条件。势能依赖时间时，这种分离通常不再成立，但演化方程仍给出态的幺正演化。

快速检测

量子力学中的量 ∣ψ(x,t)∣2|\psi(x,t)|^2 表示:

量子隧穿使粒子能够:

参考文献

  1. Erwin Schrödinger (1926). Quantisierung als Eigenwertproblem
  2. David J. Griffiths (2018). Introduction to Quantum Mechanics