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量子力学

波函数及其概率诠释

波函数 ψ 编码概率幅；|ψ|² 是位置概率密度，并须归一化使总概率为1。

量子力学中，粒子的纯态由复波函数 ψ(r,t)\psi(\mathbf r,t) 描述。它不是轨迹，也不是物质密度，而是计算测量结果概率的工具。

ρ(r,t)=∣ψ(r,t)∣2,P(Ω,t)=∫Ω∣ψ(r,t)∣2 d3r\rho(\mathbf r,t)=|\psi(\mathbf r,t)|^2,\qquad P(\Omega,t)=\int_{\Omega}|\psi(\mathbf r,t)|^2\,d^3r

定义: 玻恩概率密度

∣ψ∣2|\psi|^2 是单位体积的概率。在区域 Ω\Omega 找到粒子的概率等于该区域内密度的积分；SI制下 ∣ψ∣2|\psi|^2 的单位为 m−3^{-3}。

观察无限深势阱两态叠加的 ∣ψ∣2|\psi|^2。调节能级差可见概率密度振荡，同时保持归一化。

归一化与测量

∫R3∣ψ(r,t)∣2 d3r=1\int_{\mathbb R^3}|\psi(\mathbf r,t)|^2\,d^3r=1

对一维受限粒子，在 aa 到 bb 之间找到它的概率为 P=∫ab∣ψ(x,t)∣2dxP=\int_a^b|\psi(x,t)|^2dx。密度可以随时间变化，但封闭系统的幺正演化使全空间积分始终为1。

例题: 半个势阱中的概率

无限深势阱 0<x<L0<x<L 的基态为 ψ1=2/Lsin⁡(πx/L)\psi_1=\sqrt{2/L}\sin(\pi x/L)。在左半区找到粒子的概率是多少？

解答

P=∫0L/2(2/L)sin⁡2(πx/L)dx=1/2P=\int_0^{L/2}(2/L)\sin^2(\pi x/L)dx=1/2。∣ψ1∣2|\psi_1|^2 关于 L/2L/2 对称，因此也可直接得出。

位置测量中，在区间 [a,b][a,b] 找到粒子的概率为 P=∫ab∣ψ(x,t)∣2 dxP=\int_a^b |\psi(x,t)|^2\,dx。在整条直线上归一化的态，其积分为一；互不相交区域的概率可相加。对于不可区分的两条路径，复振幅在平方前发生干涉，∣ψ1+ψ2∣2|\psi_1+\psi_2|^2 含有交叉项，而分别相加概率会漏掉它。因此测量并非只是读取预先存在的经典分布；所选可观测量决定可能结果及其概率。三维情形将 dxdx 换成体积元 d3rd^3r。

快速检测

哪个量给出在位置 r\mathbf r 找到粒子的概率密度？

在全空间归一化波函数要求什么？

参考文献

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics