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量子力学

氢原子：能级与轨道

库仑势使氢原子能级由主量子数 nn 标记；轨道 ∣ψnlm∣2|\psi_{nlm}|^2 是概率密度，而非行星轨道。

氢原子是量子力学中首个可精确求解的库仑问题。在球坐标分离薛定谔方程，可得到由 n,l,mln,l,m_l 标记的态。其简单谱解释了光谱线并构成原子结构基础。

En=−13.6 eVn2,n=1,2,...;l=0,...,n−1,ml=−l,...,lE_n=-\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2},\quad n=1,2,...;\qquad l=0,...,n-1,\quad m_l=-l,...,l

定义: 量子数

主量子数 nn 决定能量和特征尺度；轨道量子数 ll 决定角动量 L2=l(l+1)ℏ2L^2=l(l+1)\hbar^2；磁量子数 mlm_l 给出其投影 Lz=mlℏL_z=m_l\hbar。非相对论氢模型中，每个 nn 有 n2n^2 个不计自旋的态。

选择 1s、2s 或 2p，观察 ∣ψnlm∣2|\psi_{nlm}|^2 的空间模型和节点；云图表示概率而非运动路径。

谱线与跃迁

非相对论库仑模型中，能量仅依赖 nn，因此多个态简并。原子吸收或发射光子时，光子能量等于能级差：hν=∣Ef−Ei∣h\nu=|E_f-E_i|。精细结构和外场会部分解除理想简并。

例题: 跃迁光子

电子从 n=3n=3 跃迁至 n=2n=2，求发射光子能量。

解答

E2=−13.6/4=−3.40E_2=-13.6/4=-3.40 eV，E3=−13.6/9=−1.51E_3=-13.6/9=-1.51 eV。发射光子能量为 Eγ=E3−E2=1.89E_\gamma=E_3-E_2=1.89 eV。

库仑势具有球对称性，因此问题可分离为径向和角向部分。在非相对论模型中，能量取决于主量子数 nn，但对 l,ml,m 简并；它们分别标记能量尺度和轨道角动量。玻尔半径 a0=4πϵ0ℏ2/(mee2)a_0=4\pi\epsilon_0\hbar^2/(m_e e^2) 给出长度尺度，束缚能级为 En=−13.6 eV/n2E_n=-13.6\,\text{eV}/n^2。当光子满足 hν=Ei−Efh\nu=E_i-E_f 时出现谱线。精细结构和 QED 修正会分裂基本库仑模型中的简并能级。

快速检测

非相对论氢原子中，哪个量子数直接决定能量？

原子轨道表示什么？

参考文献

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics