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量子力学

海森堡不确定性原理

态的位置与动量展宽不能同时任意小：ΔxΔp ≥ ℏ/2。

不确定性原理是量子态的结构性限制，并非仪器缺陷或观察者操作不当。它描述对相同制备系统重复测量所得结果的统计展宽。

Δx Δpx≥ℏ2,ΔA ΔB≥12∣⟨[A,B]⟩∣\Delta x\,\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2},\qquad \Delta A\,\Delta B\geq\frac12\left|\langle[A,B]\rangle\right|

定义: 标准差

可观测量 AA 的不确定度是标准差 ΔA=⟨A2⟩−⟨A⟩2\Delta A=\sqrt{\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2}。一般关系式使用对易子 [A,B]=AB−BA[A,B]=AB-BA。由 [x,px]=iℏ[x,p_x]=i\hbar 得到位置—动量不等式。

调节高斯波包宽度：位置越局域，波数/动量分布越宽，符合 ΔxΔp ≥ ℏ/2。

数学起源

任意两可观测量的一般关系为 ΔAΔB≥∣⟨[A,B]⟩∣/2\Delta A\Delta B\geq |\langle[A,B]\rangle|/2。对易算符由此式没有正的下界；位置和动量不对易，因此存在下界。最小不确定高斯态使 x,px,p 关系取等号。

例题: 波长与动量

电子波包的 Δx=0.10\Delta x=0.10 nm，求 Δpx\Delta p_x 的最小值。

解答

Δpx≥ℏ/(2Δx)=1.055×10−34/(2.0×10−10)=5.28×10−25\Delta p_x\geq\hbar/(2\Delta x)=1.055\times10^{-34}/(2.0\times10^{-10})=5.28\times10^{-25} kg·m/s。

考虑位置标准差为 σx\sigma_x 的高斯波包。傅里叶分析表明，波包越窄，动量展宽越大；高斯态达到 ΔxΔp=ℏ/2\Delta x\Delta p=\hbar/2。平移波包可改变均值 ⟨x⟩\langle x\rangle 和 ⟨p⟩\langle p\rangle，却不改变标准差乘积。这是态的性质，而非仪器缺陷。更一般地，对算符 A,BA,B，罗伯逊不等式为 ΔAΔB≥∣⟨[A,B]⟩∣/2\Delta A\Delta B\ge |\langle[A,B]\rangle|/2。

快速检测

位置—动量不确定度乘积的标准下界是什么？

波包在位置上更局域时，动量展宽通常如何变化？

参考文献

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics