Physic Labs

量子力学

势阱中的粒子与量子隧穿

无限深势阱具有离散能级；有限势垒中波函数虽衰减但另一侧仍非零，因此存在隧穿概率。

势能决定经典上允许运动的区域，但薛定谔方程的波函数可以延伸到经典禁阻区。无限深势阱展示量子化，有限势垒展示隧穿。

En=n2π2ℏ22mL2,ψn(x)=2Lsin⁡nπxL;T≈e−2κa,κ=2m(V0−E)ℏE_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2},\quad\psi_n(x)=\sqrt{\frac2L}\sin\frac{n\pi x}{L};\qquad T\approx e^{-2\kappa a},\quad\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}

定义: 一维无限深势阱

若 0<x<L0<x<L 时 V=0V=0，外部 V=∞V=\infty，边界条件 ψ(0)=ψ(L)=0\psi(0)=\psi(L)=0 仅允许 kn=nπ/Lk_n=n\pi/L（n=1,2,...n=1,2,...）。基态能量不为零：受限粒子不能同时具有零位置展宽和零动量。

改变量子数 nn 观察驻波节点及 En∝n2E_n∝n²；切换到有限势垒，观察振幅衰减的透射波包。

穿透有限势垒

对高度 V0V_0、宽度 aa 的矩形势垒，若 E<V0E<V_0，势垒内解按 e−κxe^{-\kappa x} 衰减。精确透射率还取决于两侧边界匹配；T≈e−2κaT\approx e^{-2\kappa a} 是势垒足够厚/高时的 WKB 近似，并非普适精确公式。

例题: 势阱基态能量

电子被限制在长度 L=1.00L=1.00 nm 的一维势阱中，求 E1E_1（eV）。

解答

E1=h2/(8meL2)=6.02×10−20E_1=h^2/(8m_eL^2)=6.02\times10^{-20} J =0.376=0.376 eV。

能量 E<V0E<V_0 的粒子入射到高度 V0V_0 的势垒时，薛定谔方程在禁阻区给出指数衰减解。对宽度为 aa 的矩形势垒，透射率近似按 T∝e−2κaT\propto e^{-2\kappa a} 衰减，其中 κ=2m(V0−E)/ℏ\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar。因此势垒越宽或粒子越重，隧穿越不可能。轻粒子遇到薄势垒时，概率仍有限。这一效应是扫描隧道显微镜和阿尔法衰变的基础；要将理想的一维模型与真实材料结构区分开。

快速检测

一维无限深势阱中，第 nn 级能量正比于什么？

当 E<V0E<V_0 时，矩形势垒中的波函数定性上如何变化？

参考文献

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics