分析力学

刚体转动、陀螺与欧拉角

自由刚体的取向有三个转动自由度。欧拉角是描述取向的广义坐标；物体系和空间系中的角动量一般方向不同。

绕主轴转动较简单，但一般运动必须跟踪刚体姿态。ZXZ欧拉角约定将姿态分解为连续的三次旋转。

陀螺与进动

快速自转的对称陀螺中，角动量近似沿对称轴。重力力矩改变其方向而产生进动；在力矩垂直于L的慢进动近似下，$Ω_p≈τ/L$。该近似不包含完整章动。

快速检测

在刚体固连的主轴系中，欧拉方程包括 $I_1\dot\omega_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3=\tau_1$，其余两式由循环置换指标得到。外力矩为零时，绕最大或最小转动惯量主轴的匀速转动对小扰动稳定，而绕中间轴的转动不稳定。快速旋转的陀螺受到横向力矩时，角动量方向缓慢改变，产生进动。某些姿态下欧拉角有坐标奇点；这是角坐标图的局限，并非刚体的物理奇点。

绕主轴3稳定转动时，$\omega_3$ 恒定，两个横向方程描述小扰动。稳定性取决于 $(I_3-I_1)(I_3-I_2)$ 的符号：最大和最小转动惯量轴对应有界振荡，而中间轴会允许扰动增长。这就是网球拍翻转效应的基础。