分析力学

中心力场中的运动与开普勒问题

开普勒问题描述逆平方引力势中的运动。对称性将其化为径向动力学，轨道分为椭圆、抛物线或双曲线。

在中心势V(r)=−κ/r中，角动量守恒。轨道位于一个平面内，由能量E和角动量L决定。

E=\frac{p_r^2}{2\mu}+\frac{L^2}{2\mu r^2}-\frac{\kappa}{r}, \qquad r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos\phi}

定义: 有效势与轨道

约化质量μ以角动量L运动。有效势 $V_{eff}=L^2/(2μr^2)-κ/r$ 结合离心势垒与引力。 $E<0$ 为束缚椭圆轨道； $E=0$ 为逃逸抛物线； $E>0$ 为双曲线。结论假设无显著摄动的牛顿二体问题。

调节偏心率与真近点角，比较轨道平面中的椭圆、抛物线和双曲线。下方曲面示意简化开普勒例中的哈密顿—雅可比主函数S(q,t)。

从哈密顿—雅可比到轨道

哈密顿—雅可比方程 $∂S/∂t+H(q,∂S/∂q,t)=0$ 确定主作用量。在静态开普勒场中，可在极坐标下分离变量并以能量和角动量为常数；对这些常数求S的导数可得到运动。所示S曲面只是简化解的示意，并非所有开普勒轨道共享同一曲面。

例题: 例题

束缚开普勒轨道为椭圆，偏心率e=0.6，半长轴a=10⁷ m，焦点在原点。求近心点和远心点距离。

解答

开普勒椭圆有r_min=a(1−e)、r_max=a(1+e)。所以r_min=4×10⁶ m、r_max=1.6×10⁷ m，两者之和为2a，符合椭圆几何。

快速检测

在极坐标中，有效势为 $V_{\rm eff}(r)=L^2/(2\mu r^2)-\kappa/r$ 。离心项在 $r\to0$ 时形成势垒，而引力吸引粒子；有效势的极小对应半径 $r_0=L^2/(\mu\kappa)$ 的圆轨道。束缚能量 $E<0$ 时轨道为椭圆，半长轴 $a=-\kappa/(2E)$ 。 $E=0$ 时是抛物线， $E>0$ 时是双曲线。两体问题中这些公式使用约化质量 $\mu$ ；中心质量固定是其极限近似。

对于势V(r)=−κ/r，总能量E<0对应哪类轨道？

在自治系统的哈密顿运动中，沿轨道守恒的量是什么？

参考文献

Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics
L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1976). Mechanics