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分析力学

刘维尔定理

哈密顿流保持相空间体积。对于具有n个自由度的可积系统，正则不变能级面组织成n维环面。

哈密顿方程定义相空间中的不可压缩流。在正则坐标中，一簇状态的相体积随时间保持不变。

∂ρ∂t+∇(q,p) ⁣⋅(ρ z˙)=0,∇(q,p) ⁣⋅z˙=0\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla_{(q,p)}\!\cdot(\rho\,\dot z)=0, \qquad \nabla_{(q,p)}\!\cdot\dot z=0

定义: 相体积守恒

z=(q1,…,qn,p1,…,pn)z=(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n)时，哈密顿向量场为q˙i=∂H/∂pi\dot q_i=\partial H/\partial p_i、p˙i=−∂H/∂qi\dot p_i=-\partial H/\partial q_i。其散度中的混合偏导逐项抵消，因此流映射的雅可比为1，相体积守恒。这是哈密顿力学中的刘维尔定理，并不意味着任意分布都具有均匀密度。

轨迹在二自由度可积系统的不变环面上绕行；调节频率比可观察闭合轨道或逐渐覆盖环面的轨迹。

与可积性的关系

相体积定理适用于一般哈密顿流。刘维尔—阿诺德定理进一步说明：自治系统若有n个独立且两两泊松对易的积分，且正则能级集紧致，则运动位于n维环面上；在作用—角变量中，角变量随时间线性变化。

例题: 例题

具有两个自由度的可积系统，在独立积分固定且能级集紧致时，可在四维相空间的什么曲面上运动？

解答

正确答案：二维环面。根据 Liouville–Arnold 定理，当具有 nn 个自由度的可积系统的能级集 {F1=c1,…,Fn=cn}\{F_1=c_1,\dots,F_n=c_n\} 紧致且正则时，该集合是 nn 维环面 TnT^n —— 这里 n=2n=2，故轨道在 T2T^2 上，而不是球面或直线。

快速检测

在正则坐标中，相空间速度场的散度为 ∑i(∂q˙i/∂qi+∂p˙i/∂pi)=∑i(∂2H/∂qi∂pi−∂2H/∂pi∂qi)=0\sum_i(\partial\dot q_i/\partial q_i+\partial\dot p_i/\partial p_i)=\sum_i(\partial^2H/\partial q_i\partial p_i-\partial^2H/\partial p_i\partial q_i)=0。由散度定理，随哈密顿流输运的小相体积保持不变。这不意味着每条轨道静止或分布始终均匀：密度可以变形，但会随流输运并保持相体积。该结果是平衡统计力学和相空间密度刘维尔方程的基础。

对于具有两个自由度且能级集正则紧致的可积系统，刘维尔—阿诺德定理指出运动位于什么曲面上？

在自治系统的哈密顿运动中，沿轨道守恒的量是什么？

参考文献

  1. Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics
  2. L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1976). Mechanics