分析力学

广义动量与哈密顿量

广义动量 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ 是坐标 $q_i$ 的共轭变量；通过勒让德变换可将拉格朗日量转换为哈密顿量 $H$。

拉格朗日力学以位置和速度为自然变量。哈密顿力学用广义动量替代速度，并以相空间 $(q,p)$ 中的点表示状态。这种表述特别适合研究运动结构。

勒让德变换

若可由 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ 反解出 $(q,p,t)$ 的函数 $\dot q_i$，便将其代入 $H=\sum_i p_i\dot q_i-L$。局部可逆要求速度 Hessian 矩阵 $\partial^2L/\partial\dot q_i\partial\dot q_j$ 非奇异。受约束或奇异系统需要另行处理。

简谐振子满足 $p=m\dot q$。代入 $\dot q=p/m$ 即得上述哈密顿量。$H=E$ 等值线是 $(q,p)$ 相平面上的椭圆，周期运动沿椭圆进行。

快速检测

只有当海森矩阵 $W_{ij}=\partial^2L/(\partial\dot q_i\partial\dot q_j)$ 非奇异时，勒让德变换才可逆。此时可由 $(q,p,t)$ 解出速度，并在相空间定义哈密顿量；若海森矩阵奇异，则意味着存在正则约束，需要另行处理。电磁势中的带电粒子是重要例子：$L=\tfrac12m\dot{\mathbf r}^{2}+e\mathbf A\cdot\dot{\mathbf r}-e\phi$ 给出 $\mathbf p=m\dot{\mathbf r}+e\mathbf A$，并非只有机械动量 $m\dot{\mathbf r}$。