分析力学

对称性与诺特定理

作用量的每个连续对称性都对应一个守恒定律：时间平移不变对应能量守恒，空间平移不变对应动量守恒。

诺特定理把看似不同的两个概念联系起来：定律的对称性与守恒量。若物理描述在连续变换下不变，运动方程便蕴含一个保持不变的诺特量。

\delta L=\frac{dF}{dt} \quad\Longrightarrow\quad Q=\sum_i p_i\,\delta q_i-F=\text{constant}

定义: 连续对称性与诺特荷

若连续变换 $q_i\to q_i+\epsilon\Delta q_i$ 使拉格朗日量至多改变一个全导数 $dF/dt$ ，则它是作用量的对称性。此时在运动解上 $Q=\sum_i p_i\Delta q_i-F$ 守恒，其中 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ 。常见的简化形式对应 $F=0$ 。

绕中心势旋转坐标系：系统保持不变，角动量 L 守恒。

常见对称性

连续对称性	守恒量
时间平移	能量
空间平移	线动量
空间旋转	角动量

在中心势 $V(r)$ 中，绕中心旋转不会改变 $L=\tfrac12m\dot{\mathbf r}^{2}-V(r)$ 。绕 $z$ 轴的旋转对称性对应 $L_z$ 守恒；在中心势中，整个角动量矢量均守恒。

例题: 从循环坐标到角动量

质量为 $m$ 的粒子在平面内受势能 $V(r)$ 作用运动。证明其绕垂直轴的角动量守恒。

解答

$L=\tfrac12m(\dot r^2+r^2\dot\phi^2)-V(r)$ 不显含 $\phi$ 。因此由欧拉—拉格朗日方程， $p_\phi=\partial L/\partial\dot\phi=mr^2\dot\phi=L_z$ 为常数。

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一般地，考虑连续变换 $q_i\mapsto q_i+\epsilon\Delta q_i$ ，它使拉格朗日量至多改变一个全时间导数 $\epsilon\,dF/dt$ 。沿运动方程的解， $Q=\sum_i p_i\Delta q_i-F$ 的时间导数为零。若对称变换不改变时间且 $F=0$ ，则化为 $Q=\sum_i p_i\Delta q_i$ 。对称性也可能同时变换时间与坐标；此时能量项也会出现，需要使用定理的扩展形式。

守恒律并不要求拉格朗日量严格不变。若它只改变一个全导数，作用量的变化仅在边界；端点固定时运动方程仍不变。因此诺特定理涵盖了比严格不变性更广泛的对称性。

时间平移对称性对应什么守恒量？

中心势的旋转对称性导致什么量守恒？

参考文献

Cornelius Lanczos (1970). The Variational Principles of Mechanics