流体力学

伯努利方程

稳定流动的能量守恒:流体流速越快的地方,压强越低。

伯努利方程是能量守恒定律应用于沿流线的稳定、无黏性、不可压缩流体流动的结果。它把同一条流线上不同点处流体的压强、速度和高度联系起来。

p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{constant along a streamline}

$p$ 是静压, $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ 可视为"动压"(与流动流体的动能有关), $\rho g h$ 是"重力压强"(与高度 $h$ 带来的势能有关)。若忽略黏性摩擦,这三项之和沿流线保持不变。

收窄文丘里管的喉部,可以看到速度一增大,该处的压强就立刻下降——与伯努利方程的预测完全一致。

与连续性方程的联系

伯努利方程通常与连续性方程 $A_1 v_1 = A_2 v_2$ (流量守恒,是不可压缩流体质量守恒的结果)相伴使用:当管道截面积 $A$ 减小时,为保持流量不变,速度 $v$ 必须增大。对水平管道( $h$ 为常数),将两者结合得到:

p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 \quad\Rightarrow\quad v_2 > v_1 \implies p_2 < p_1

这就是为什么截面越小、速度越大、压强越低——这一效应被用于测量流量(文丘里管)、产生飞机机翼的升力,也解释了汽车高速行驶时窗帘会被吸向车外的现象。

定义: 流线

流线是这样一条曲线:在给定时刻,其上每一点的切线方向都与该点处流体的速度方向一致。在稳定流动(不随时间变化)中,流线与流体粒子实际走过的路径重合。

例题: 文丘里管喉部的压强

水流过一根水平管道,入口面积是喉部面积的两倍( $A_1 = 2A_2$ )。若入口压强 $p_1 = 200$ kPa,入口速度 $v_1 = 2$ m/s,求喉部的压强(ρ = 1000 kg/m³)。

解答

由连续性方程: $v_2 = v_1 A_1/A_2 = 2 \times 2 = 4$ m/s。由伯努利方程: $p_2 = p_1 + \tfrac12\rho(v_1^2 - v_2^2) = 200000 + 0.5 \times 1000 \times (4 - 16) = 200000 - 6000 = 194{,}000$ Pa。

快速检测

例题: 水箱出水速度

小孔位于自由液面下方 $h=1.25,mathrm m$ 。对于敞口的大水箱，液面速度可忽略，液面与出口处压强均为大气压。伯努利方程给出 $v=sqrt{2gh}=sqrt{2(9.8)(1.25)}approx4.95,mathrm{m/s}$ 。这是理想估算；黏性、孔口收缩和水箱有限尺寸都会使实际速度更小。

在水平管道中,若截面积缩小,该处流体的压强将:

伯努利方程本质上是哪一条守恒定律的应用?

参考文献

Daniel Bernoulli (1738). Hydrodynamica
Kundu, Cohen, Dowling (2015). Fluid Mechanics