流体力学

黏度与雷诺数

黏度描述流体内部摩擦；雷诺数比较惯性与黏性效应，以表征流态。

真实流体通过黏性抵抗剪切。低雷诺数时流动通常为层流；惯性作用更强时，脉动和湍流混合更易发展。

Re=\frac{\rho vL}{\mu}=\frac{vL}{\nu},\qquad \tau=\mu\frac{\partial u}{\partial y}

定义: 动力黏度

动力黏度 $\mu$ （Pa·s）联系剪切应力与速度梯度；运动黏度为 $\nu=\mu/\rho$ （m²/s）。 $L$ 和 $v$ 分别为特征长度和速度。

调节雷诺数定性观察流动变化；抛物线分布表示圆管层流泊肃叶流。

管流状态

直圆管中低 $Re$ 通常有利于层流。转捩还取决于扰动和入口条件； $Re\approx2300$ 是常用经验参考，并非精确普适阈值。高 $Re$ 时惯性可维持脉动和湍流混合。

泊肃叶速度分布

u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu\ell}(R^2-r^2),\qquad Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu\ell}

圆管内充分发展牛顿流体层流具有抛物线速度分布：无滑移管壁处速度为零，轴线上最大。泊肃叶公式需要层流和适当管道假设。

例题: 估算雷诺数

水（ $\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}$ ， $\mu=0.001\,\mathrm{Pa\,s}$ ）以 $v=0.20\,\mathrm{m/s}$ 流过直径 $D=0.010\,\mathrm m$ 的管道。求 $Re$ 。

解答

$Re=\rho vD/\mu=1000(0.20)(0.010)/0.001=2000$ 。光滑管中通常属于层流范围，但转捩仍受扰动影响。

快速检测

例题: 估算管道中的雷诺数

水的 $ho=1000,mathrm{kg/m^3}$ 、 $mu=1.0 imes10^{-3},mathrm{Pa,s}$ ，以平均速度 $v=0.10,mathrm{m/s}$ 流过直径 $D=0.020,mathrm m$ 的管道。于是 $Re= ho vD/mu=2000$ 。这接近圆管中常见的转捩范围，因此入口扰动和粗糙度会影响流动保持层流还是开始失稳；不能把某个单一阈值视为绝对界线。

若因速度增大而使 $Re$ 增加，哪种效应相对增强？

层流泊肃叶流中速度最大处在哪里？

参考文献

Frank M. White (2016). Fluid Mechanics