流体力学

连续性方程

质量守恒使稳定流中各截面的质量流率相等。

稳定流中液体不会在管段内积聚：每秒流入质量等于流出质量。对不可压缩液体，管道越窄，平均速度越大。

\dot m=\rho Av=\text{constant},\qquad A_1v_1=A_2v_2\quad(\rho=\text{constant})

定义: 流量

体积流量 $Q=Av$ 的单位为m³/s；质量流率 $\dot m=\rho Av$ 的单位为kg/s。 $v$ 是垂直于截面的平均速度。一般形式也适用于密度变化的可压缩流体。

观察缩口处粒子运动更快、间距更密，而流量保持不变。

收缩管道

密度不变时 $Q=Av$ 守恒。管半径减半，面积变为四分之一，平均速度增至四倍。流线变密表示速度增大，而非流量增大。

可压缩流动

可压缩气体的密度可沿管道变化，此时正确关系为 $\rho Av=\mathrm{constant}$ 。只有在密度可视为不变时才适用简式 $Av=\mathrm{constant}$ 。

例题: 喷嘴中的速度

水以0.50 m/s从直径4 cm的管道流入直径2 cm的喷嘴。求喷嘴中的平均速度。

解答

$A_1/A_2=(4/2)^2=4$ ，所以 $v_2=v_1A_1/A_2=2.0\,\mathrm{m/s}$ 。

快速检测

例题: 流经收缩喷嘴的流量

水从直径 $4.0,mathrm{cm}$ 的管道流入直径 $2.0,mathrm{cm}$ 的喷嘴。面积与直径平方成正比，所以 $A_2=A_1/4$ 。若入口平均速度为 $0.50,mathrm{m/s}$ ，由体积流量守恒得 $v_2=(A_1/A_2)v_1=2.0,mathrm{m/s}$ 。流量保持 $Q=A_1v_1=A_2v_2$ 不变；速度增加是因为截面积变小，而非流体凭空产生。

不可压缩流体圆管的半径减半，为保持流量不变，平均速度如何变化？

稳定可压缩气流守恒什么量？

参考文献

Frank M. White (2016). Fluid Mechanics