牛顿力学

机械能守恒定律

只有保守力做功时，系统动能与势能之和不变：K+U=const。

球下落时重力势能减少，速度增大。忽略空气阻力时，减少的势能转化为增加的动能，机械能总量守恒。

E_{\rm m}=K+U=\text{constant}

定义: 机械能

机械能 $E_m=K+U$ 是系统动能与势能之和。若非保守力（摩擦、阻力）不做功，则 $K_i+U_i=K_f+U_f$ 。若非保守力做功，则 $\Delta(K+U)=W_{\rm nc}$ ；机械能可转化为热等其他形式，但总能量仍守恒。

观察小球在高度与速度之间的能量转换；加入摩擦可看到机械能转化为热。

应用守恒定律

选取两个状态，用一致的势能零点写出 $K_i+U_i=K_f+U_f$ 。物体从静止下落高度 $h$ 且无空气阻力时， $mgh=\frac12mv^2$ ，得 $v=\sqrt{2gh}$ 。质量约去，因此该模型中下落速率与质量无关。

例题: 下落后的速率

物体从离地 $5\,m$ 处由静止释放，忽略阻力，取 $g=10\,m/s^2$ 。求即将触地前的速率。

解答

$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times5}=10\,m/s$ 。

应用机械能守恒时，应选取两个状态、使用一致的势能零点，并检查阻力或摩擦是否做了显著的功。物体在光滑轨道上滑动时，势能转化为动能；在粗糙轨道上，部分机械能因摩擦转化为热。若初始机械能为 50 J，摩擦带走 8 J，则末态机械能为 42 J，但物体、轨道和环境组成的系统总能量仍守恒。

例题: 无摩擦滑梯

儿童从 5 m 高处由静止无摩擦滑下，取 g=10 m/s²，求底端速度。

解答

mgh=½mv²，因此 v=√(2gh)=√100=10 m/s。

可先把最低点选作势能零点，再用同一基准写出初态和末态能量。若初速度不为零，也要保留初始动能项。守恒定律能简化计算，但不能代替对非保守力的检查。

无阻力下落时，势能减少，动能如何变化？

物体因摩擦滑动减速，减少的机械能主要转化为什么？