牛顿力学

重力势能与弹性势能

势能与位置或形变有关；地表附近 U_g=mgh，理想弹簧的弹性势能为 U_s=½kx²。

升高的物体可下落做功，压缩的弹簧可推动物体。与力场中的位置或形变相关的能量称为势能。势能零点可按方便选取；做功直接关联的是势能变化。

U_g=mgh,\qquad U_s=\frac12kx^2

定义: 重力势能与弹性势能

地表附近取高度零点 $h=0$ ，质量 $m$ 位于高度 $h$ 时 $U_g=mgh$ 。劲度系数 $k$ （N/m）的弹簧相对原长形变 $x$ ，在弹性限度内储存 $U_s=\frac12kx^2$ 。势能单位为焦耳且取决于参考零点；胡克定律范围内弹簧力为 $F=-kx$ 。

提升物体或形变弹簧，观察相对于所选参考零点的势能及其向运动的转化。

势能与功

对重力或理想弹簧力等保守力，力做功 $W=-\Delta U$ 。若无摩擦等非保守力做功，动能与势能之和保持不变。改变参考零点后势能可以为负；物理上有意义的是势能变化而非绝对零值。

例题: 提升物体

在地表附近将 $2\,kg$ 物体提升 $3\,m$ ，取 $g=10\,m/s^2$ 。求重力势能增量。

解答

$\Delta U_g=mg\Delta h=2\times10\times3=60\,J$ 。

重力势能取决于相对于所选零点的高度差；若只考虑重力，提升物体的路径无关。取 $g=10 m/s²$ ，在地面附近将 5 kg 背包提升 2 m，势能增加 100 J。若无阻力释放，这些能量将转化为动能。弹簧形变量加倍时，弹性势能变为四倍，因为公式中含有 $x²$ 。

例题: 放在架子上的背包

将 3 kg 的袋子提升 4 m，取 g=10 m/s²，势能增加多少？

解答

ΔU=m g Δh=3×10×4=120 J。

m、g 不变时，高度加倍使重力势能变化如何？

理想弹簧形变 x 时的弹性势能是什么？