牛顿力学

弹性碰撞

弹性碰撞同时守恒系统总动量与总动能。

在理想刚体模型中，弹性碰撞不会把总动能转化为热、声音或永久形变。各物体的动能仍可彼此交换。

m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2, \qquad \frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2

定义: 恢复系数

一维碰撞的恢复系数 $e$ 是相对分离速率与相对接近速率之比。理想弹性碰撞 $e=1$ ；完全非弹性碰撞 $e=0$ 。

改变质量和初速度，观察两个守恒方程及碰撞后的速度。

一维碰撞

结合动量守恒和动能守恒可求出碰撞后的两个速度。等价地，理想弹性碰撞的相对分离速率等于相对接近速率。

例题: 两个等质量小车

两个相同质量小车：车1以4 m/s向右运动，车2静止。发生正面弹性碰撞，求碰撞后的速度。

解答

质量相等时两物体交换速度： $v_1=0$ ， $v_2=4\,\mathrm{m/s}$ 向右。动量和动能均不变。

将两个守恒方程联立，可得相对速度关系：采用一致的正方向约定时， $v_1-v_2=-(u_1-u_2)$ 。若两物体质量不同，它们通常不会交换速度；简单的速度交换只适用于质量相等且第二个物体初始静止的情况。理想化条件下，弹性模型可近似描述台球或气体分子的碰撞。

若一个物体的质量大得多，同样的动量变化对应 $Delta v=Delta p/m$ ，其速度通常改变较小。但根据牛顿第三定律，两物体受到的相互作用力大小相等、方向相反，因此动量仍在系统内部交换。要区分碰撞中的动能守恒与包括所有形式的总能量守恒。求解后应检查两个方程，以发现符号错误。

孤立系统的弹性碰撞中哪些量守恒？

两个等质量物体，一个运动、一个静止。理想一维弹性碰撞后通常怎样？