Physic Labs
ステップ 1/4: 中心力 → トルクはゼロ
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直感

フィギュアスケーターが腕を引き寄せて速く回るのと同じです。外からねじる力がなければ「距離 × 回転の速さ」の積は一定で、中心に近いほど速く、遠いほど遅く回ります。

τ⃗=r⃗×F⃗grav=0 ⇒ L⃗=m r⃗×v⃗=const\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}_{grav} = 0 \ \Rightarrow \ \vec{L} = m\,\vec{r} \times \vec{v} = \text{const}
解析

重力は常に惑星と太陽を結ぶ動径方向に沿うので、平行なベクトルどうしの外積 r⃗×F⃗\vec{r} \times \vec{F} は 0 です。したがって dL⃗dt=τ⃗=0\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau} = 0 であり、L⃗\vec{L} は保存されます。