最先端の物理学

AdS/CFT対応

反ド・ジッター空間の重力と、その境界上の非重力場理論を結ぶホログラフィー双対性です。

AdS/CFTはホログラフィーの代表的な実現例です。境界を持つ空間の重力理論が、その境界上の非重力量子場理論と等価です。ある領域では片側の難問が他方で扱いやすくなります。

Z_{\mathrm{grav}}[\phi_{(0)}]=\left\langle\exp\!\left(\int_{\partial AdS}\phi_{(0)}\mathcal O\right)\right\rangle_{\mathrm{CFT}},\qquad S_{\mathrm{BH}}=A/(4G_N)

定義: ホログラフィー

重力領域の情報を低次元の境界理論で符号化できるという考えです。AdS/CFTでは境界ソースが対応するCFT演算子と結合し、式は適切な規格化と境界条件を仮定します。

曲がったバルクと境界の模式図です。節点位置は概念的で、ホログラフィー計算ではありません。

意味と限界

よく知られた双対性はAdS $_{d+1}$ とCFT $_d$ を結びます。地平面積に比例するブラックホールエントロピーは、重力自由度が体積でなく面積に従うことを示唆します。AdSは反射境界と負の宇宙定数を持ち、近似的にde Sitterな現宇宙とは異なります。

例: 境界次元の数

AdS $_5$ /CFT $_4$ 対応で、境界理論の時空次元はいくつですか。

解答

4次元です。CFT $_d$ はAdSバルクより1次元少なくなります。

標準的な例では、 $AdS_{d+1}/CFT_d$ はバルク場と境界演算子を対応させ、概略的に生成汎関数は $Z_{gravity}[\phi_{boundary}]=Z_{CFT}[J]$ を満たします。境界ソース $J$ がバルク場の境界条件を指定するため、難しい重力問題を場の量子論の計算へ移せます。強結合プラズマやブラックホールエントロピーの研究に有用ですが、漸近AdSでない時空への普遍的拡張は研究課題です。

双対記述では、AdSの半径方向の深さが境界理論のエネルギー尺度を符号化し、幾何と繰り込みを結びます。境界領域のエンタングルメントエントロピーはバルクの極値面の面積に関係し、量子もつれと幾何の定量的な橋を与えます。ただし正確な関係は半古典重力の仮定と境界条件に依存します。

AdS₍d+1₎/CFT_d対応でCFTはどこにありますか。

ベッケンシュタイン＝ホーキングエントロピーは何に比例しますか。

参考文献

Johanna Erdmenger, Nick Evans, Ingo Kirsch, Eanna S. Swanson (2008). Gauge/Gravity Duality