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量子力学

水素原子:エネルギー準位と軌道

水素原子の 1s、2s、2p 軌道の確率雲 ∣ψnlm∣2|\psi_{nlm}|^2 を調べ、その形を量子数とクーロンエネルギー En=−13.6 eV/n2E_n=-13.6\,\mathrm{eV}/n^2 に結びつけます。

大学

器具

  • 3D 確率雲キャンバス（ドラッグで回転）
  • 軌道選択ボタン「1s」「2s」「2p」
  • 画面上の節と対称性の表示

手順

  1. 1s と 2s を比較する

    「1s」「2s」を順に選び雲を回転します。どちらも球対称（l=0l=0）ですが、2s には ∣ψ∣2|\psi|^2 が 0 になる球殻状の動径節が一つあり、より外側に広がります。エネルギーが E2=−3.4E_2=-3.4 eV に上がることと整合します。

  2. 2p に切り替える

    「2p」を押して回転します。雲は節面を挟んで二つの葉に分かれ、l=1l=1 の特徴です。この亀の子形は ml=−1,0,1m_l=-1,0,1 の三つの軌道に共通で、雲は古典的な軌道ではなく確率密度です。

  3. 遷移を計算する

    En=−13.6 eV/n2E_n=-13.6\,\mathrm{eV}/n^2 を使い、電子が n=2n=2 から n=1n=1 へ落ちるときの光子を計算します：hν=13.6(1/12−1/22)=10.2h\nu=13.6(1/1^2-1/2^2)=10.2 eV、ライマンα線です。3→23\to2（バルマー系列、赤）の遷移とのエネルギー差を比較しましょう。

シミュレーション

実験の歴史

ニールス・ボーアの1913年のモデルは角運動量を量子化して水素スペクトルを説明し、En=−13.6 eV/n2E_n=-13.6\,\mathrm{eV}/n^2 でバルマー式を再現しましたが、古典軌道と量子則の混成でした。アルノルト・ゾンマーフェルトは楕円軌道に拡張しましたが、ヘリウムや線の強度を扱えませんでした。 ハイゼンベルクの行列力学（1925年）とシュレーディンガーの波動方程式（1926年）が軌道を定常状態 ψnlm\psi_{nlm} に置き換えました。本シミュレーションの雲は、マックス・ボルンの1926年の確率解釈による ∣ψ∣2|\psi|^2 です。このクーロン解は、後にラムシフト（1947年）と量子電磁力学が精密化した微細構造も予言します。

関連する物理学者

ニールス・ボーアErwin Schrödinger

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