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相対性理論

双子のパラドックス

往復旅行の二本の世界線を比較して経過時間を測ります。地球では Δt=2D/v\Delta t=2D/v 経つ一方、旅行者は Δτ=(2D/v)1−v2/c2\Delta\tau=(2D/v)\sqrt{1-v^2/c^2} しか歳を取りません。「パラドックス」は折り返し時の慣性系の切り替えで解消されることを見ます。

大学

器具

  • 双子の二本の世界線を描く 3D 時空図
  • スライダー「速度 β = v/c」
  • スライダー「モデルパラメータ」（行程距離のスケール）
  • マーカー付き定量グラフ γ(β)；「視点リセット」「一時停止」ボタン

手順

  1. 二本の世界線を読む

    時空図を見ると、留守番の双子は直線の世界線をたどり、旅行者の世界線は折り返し点で曲がります。歳の取り方は各世界線に沿った固有時間 Δτ=∫1−v2/c2 dt\Delta\tau=\int\sqrt{1-v^2/c^2}\,dt で、曲がった経路のほうが短くなります。

  2. 速度 β を変える

    β スライダーを 0 から 0.9 まで動かし、二人の経過時間を読みます。下のグラフは γ=1/1−β2\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2} を追跡します。β が増すと差 Δt−Δτ\Delta t-\Delta\tau が広がり、β→1\beta\to1 で発散します。

  3. 往復の数値を確かめる

    β を選び、モデルスライダーから行程距離のスケールを読みます。Δt=2D/v\Delta t=2D/v と Δτ=Δt/γ\Delta\tau=\Delta t/\gamma を手計算して読み値と比べ、さらに速い旅行での年齢差を予測してからスライダーで確かめます。

シミュレーション

実験の歴史

アインシュタインの1905年の特殊相対論の論文は、相対運動する時計が同期を保てないことをすでに指摘していました。閉じた経路を運ばれた時計は、静止した時計より遅れて戻ります。ポール・ランジュヴァンは1911年に印象的な旅行者版を広め、数学的な余談ではなく真の謎として提示しました。 ヘルマン・ミンコフスキーの1908年の時空像が明快な解決を与えました。各双子は自分の世界線に沿った固有時間だけ歳を取り、旅行者の曲がった世界線は単に固有時間が短いのです。この効果は仮説ではありません — 1971年のヘーフェレ–キーティング実験で世界一周した原子時計や、GPS衛星の日々の補正が、予測された時間のずれを確認しています。

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