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ニュートン力学

慣性モーメントと回転運動

薄い輪と円盤で軸まわりの質量分布を比較し、固定軸に対する関係 I輪=MR2I_{\mathrm{輪}}=MR^2、I円盤=12MR2I_{\mathrm{円盤}}=\tfrac12MR^2 と τ=Iα\tau=I\alpha を確かめます。

大学

器具

  • 仮想の薄い輪と円盤（固定軸まわり）
  • スライダー「質量 M」「半径 R」
  • スライダー「力のモーメント τ」「角速度 ω」
  • 回転可能な 3D キャンバスと角加速度の読み出し

手順

  1. M と R を設定する

    二つのスライダーで質量 M と半径 R を設定し、輪と円盤が同じ角速度で回るのを観察します。輪の質量はすべて半径 R にあり、円盤の質量は内側に分布するため、I輪=MR2I_{\mathrm{輪}}=MR^2 は I円盤=12MR2I_{\mathrm{円盤}}=\tfrac12MR^2 の 2 倍です。表示値と式を比較しましょう。

  2. トルクを加える

    トルクのスライダー τ を上げ、各物体の角加速度 α を読みます。同じ τ でも I が大きい輪では α が小さくなります。読み値が α=τ/I\alpha=\tau/I を満たすか確認しましょう。

  3. 回転運動エネルギー

    スライダーで角速度 ω を設定し、各物体の回転運動エネルギー Krot=12Iω2K_{\mathrm{rot}}=\tfrac12I\omega^2 を比較します。次に M を固定して R を 2 倍にすると、I∝MR2I\propto MR^2 なので同じ ω でエネルギーは 4 倍になります。

  4. スピンアップ競争を予測する

    スライダーを動かす前に、同じトルクで目標 ω に先に達するのはどちらか予測し、試します。M や R を変えて繰り返し、I=∫r⊥2 dmI=\int r_\perp^2\,dm と τ=Iα\tau=I\alpha で結果を説明しましょう。

シミュレーション

実験の歴史

ニュートンの『プリンキピア』（1687年）は物体を主に質点として扱ったため、広がりのある物体の回転には一般理論が欠けていました。クリスティアーン・ホイヘンスは『振り子時計』（1673年）で振り子を通じてこの問題に迫り、分布質量を等価な質点と比較して振動中心を求めました — 慣性モーメントにつながる初期の考え方です。 18世紀半ば、レオンハルト・オイラーが剛体力学を確立し、『剛体運動論』（1765年）で主軸まわりの慣性モーメントと慣性乗積を現代に近い形で示しました。輪の MR2MR^2、円盤の 12MR2\tfrac12MR^2 といった標準公式はこの解析的伝統に由来し、後にラグランジュらの教科書で体系化されました。

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