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古典統計力学

エネルギー等分配定理

等分配定理を視覚化します。古典平衡ではハミルトニアンの各二次自由度が平均エネルギーに ⟨Hx⟩=12kBT\langle H_x \rangle = \frac{1}{2}k_BT ずつ寄与します。温度と有効な自由度の数を変え、エネルギーの棒が TT に比例するのを観察します。

発展

器具

  • 自由度のエネルギー棒を示すキャンバス（ドラッグで視点を回転）
  • 「Nhiệt độ」スライダー（0.3–3、規格化）
  • 「Tham số」スライダー（0.1–2、有効な自由度の数を制御）
  • 規格化された軸をもつ定量グラフのキャンバス
  • 読み取り「T = … (normalized); control parameter = …」

手順

  1. 温度によるエネルギー棒を観察する

    セクション1では各棒が一つの自由度に対応し、高さは TT に比例します。「Nhiệt độ」スライダーを 0.3 から 3 まで動かし、すべての棒が一斉に伸びるのを観察します。読み取りの「T = … (normalized)」を確認し、線形の傾向を ⟨Hx⟩=12kBT\langle H_x \rangle = \frac{1}{2}k_BT と照合します。

  2. 有効な自由度を変える

    「Tham số」スライダーを 0.5、1.0、1.5、2.0 と動かすと、色づいた棒（有効な自由度）の数が変わります。全エネルギーが自由度の数に比例することに注目します。例えば単原子分子は並進3自由度なので ⟨E⟩=32kBT\langle E \rangle = \frac{3}{2}k_BT、調和振動子は二次項が2つで ⟨E⟩=kBT\langle E \rangle = k_BT です。

  3. 定量的な表示と照合する

    セクション2のグラフは規格化された軸上で両方のスライダーに応じて更新されます。キャンバスをドラッグして視点を変えます。「Nhiệt độ」を固定して「Tham số」を変え、次に逆の操作をします。エネルギーが TT と自由度の数に対して線形に変わること――ビリアル・等分配の関係 ⟨x ∂H/∂x⟩=kBT\langle x\,\partial H/\partial x \rangle = k_BT の精神どおり――を確認します。

  4. 量子的な限界を予測する

    「Nhiệt độ」をモデルの最小値 0.3 まで下げます。古典的には棒は依然 TT に比例しますが、実際の系では kBT≪ℏωk_BT \ll \hbar\omega のとき振動モードが「凍結」し、寄与は 12kBT\frac{1}{2}k_BT 未満になります。これが T→0T \to 0 で固体比熱が低下する理由です。読む前に予測します：古典比熱は ff 自由度の粒子あたり CV=f2kBC_V = \frac{f}{2}k_B です。

シミュレーション

実験の歴史

等分配定理は気体分子運動論から発展しました。1860年、ジェームズ・クラーク・マクスウェルが気体分子の速度分布を導き平均運動エネルギーを計算可能にし、1868–1871年にルートヴィヒ・ボルツマンが多自由度系へ拡張して、古典平衡ではエネルギーが二次の自由度に等しく 12kBT\frac{1}{2}k_BT ずつ分配されることを示しました。 この定理は理想気体や多くの固体の比熱（デュロン–プティの法則、1819年）を説明しましたが、低温では失敗します。1900年、王立研究所の講演でケルヴィン卿は物理学にかかる「二つの雲」を語り、その一つは等分配と黒体放射に関係していました。同年プランクがエネルギー交換を量子化し、アインシュタイン（1907年）が固体比熱に適用しました。kBT≪ℏωk_BT \ll \hbar\omega ではモードが「凍結」し、古典定理の限界を示しました。

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