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問題 3

波長 λ\lambda の光子が静止電子に散乱され、散乱後の光子は入射方向となす角が θ\theta である。波長変化 Δλ\Delta\lambda と反跳電子の運動エネルギーを求めよ。電子質量 mem_e、光速 cc、プランク定数 hh を用いる。 (a) エネルギー・運動量保存と電子の相対論的関係からコンプトン変化 Δλ\Delta\lambda を導け。(b) 光子のエネルギー損失を求め、電子の反跳運動エネルギーと等しいことを示せ。(c) 前方散乱 θ=0\theta=0 と後方散乱 θ=π\theta=\pi の極限を求め、反跳が最大となる角度を述べよ。 電子は初め静止し、光子は h/λh/\lambda の運動量をもつ。散乱後の電子には相対論的関係を用いる。 入射光子のエネルギーは hc/λhc/\lambda であり、散乱光子と反跳電子が全運動量を分け合う。波長変化と電子の運動エネルギーを求める。 前方散乱では波長変化がなく、後方散乱では最大となる。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
λ′=λ+hmec(1−cos⁡θ),Ke=hc(1/λ−1/λ′)\lambda\prime=\lambda+\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta),\quad K_e=hc(1/\lambda-1/\lambda\prime)
problems.proof.analysis

E=hc/λE=hc/\lambda と E′=hc/λ′E\prime=hc/\lambda\prime を代入して共通因子を消すとコンプトン波長シフトを得る。電子の運動エネルギーは二光子のエネルギー差である。

problems.proof.pitfall. 注意：反跳電子に非相対論的な運動エネルギー保存を使わない。運動エネルギーは全エネルギーから mec2m_ec^2 を引いた値で、光子のエネルギー減少に等しい。