問題 1

質量

m

、半径

R

の一様な実体球が角度

\alpha

の斜面を静止状態から滑らずに転がる。中心まわりの慣性モーメントは

I=\tfrac25mR^2

、重力加速度は

g

である。重心加速度

a

と高さ

h

だけ下降した後の速さ

v

を求めよ。 (a) 並進・回転の運動方程式と転がり条件から、加速度

a

と静止摩擦力の大きさ・向きを求めよ。(b) 高さ

h

だけ下降した後の速さ

v

と角速度を、回転エネルギーを含めて導け。(c) 答えの

R

依存性を確認し、純転がりで静止摩擦が力学的エネルギーを散逸しない理由を説明せよ。一様な実体球の慣性モーメントは

2mR^2/5

であり、空気抵抗と転がり抵抗は無視する。滑りなしの拘束は並進と回転を結び、静止摩擦が球を回転させる。下降による位置エネルギーは並進・回転の両方の運動エネルギーへ移る。静止摩擦力の向きは運動方程式から決め、仮定せずに求める。

problems.proof.stepOf

a=\frac{g\sin\alpha}{1+I/(mR^2)}

problems.proof.analysis

摩擦力を消去し、回転慣性を $I/(mR^2)$ で表すと $a=g\sin\alpha/[1+I/(mR^2)]$ を得る。実体球の慣性モーメントでは半径が消える。