Physic Labs

問題 2

電気容量 C0C_0(空気中)の平行板コンデンサーを電圧 U0U_0 まで充電し、電源から切り離す。その後、比誘電率 κ\kappa の誘電体板を極板間に隙間なく挿入する。誘電体挿入前後のコンデンサーのエネルギーを求め、その変化を説明せよ。 (a) 電極電荷と挿入後の容量を求め、最後の電圧を導け。(b) 挿入前後の電場エネルギーとその比を κ\kappa で表せ。(c) エネルギー減少を誘電体が引き込まれる際の力学的仕事と結び付けよ。電場と外力の仕事の符号を区別し、切断後に保存される量を明記せよ。理想平行板と完全充填を仮定する。 初期状態は空気中の容量 C0C_0 と電圧 U0U_0 で定まる。電源切断後の電荷保存を、電圧一定の条件と混同しないこと。 電源を外した後の電荷は一定であり、誘電体がすき間を完全に満たすと容量は κC0\kappa C_0 となる。エネルギー減少は誘電体を引き込む仕事と比較する。 初期と最終のエネルギーを同じ保存電荷で比較し、外力の仕事の符号も明らかにする。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
Q=C0U0, Cf=κC0, Uf=U0/κ, Ei=12C0U02, Ef=Ei/κ, Wfield=Ei−Ef, Wext=−(Ei−Ef)\boxed{Q=C_0U_0,\ C_f=\kappa C_0,\ U_f=U_0/\kappa,\ E_i=\tfrac12C_0U_0^2,\ E_f=E_i/\kappa,\ W_{\rm field}=E_i-E_f,\ W_{\rm ext}=-(E_i-E_f)}
problems.proof.analysis

これが全設問のまとめた答えである。述べた仮定と規約に従う。