Physic Labs

問題 1

質量 mm の小物体を、半径 RR の固定された滑らかな球形ドームの頂点から静止状態で放し、外側を滑らせる。重力加速度 gg は一定とする。角 θ\theta は頂点を通る鉛直線と、球の中心から物体への半径とのなす角で、0≤θ<π/20\le\theta<\pi/2 とする。物体の大きさと空気抵抗は無視する。接触中の軌道半径は一定であり、球面は物体を外向きに押すが引くことはできない。(a) エネルギー保存則から θ\theta の関数として速さを求めよ。(b) 半径方向の運動方程式を立て、接触を失う条件を述べよ。(c) 離脱角を求め、m,R,gm,R,g に依存しない理由を説明せよ。角度はラジアンまたは度で一貫して扱い、答えを度でも示す場合は換算せよ。接触を保つ間は垂直抗力が非負である必要がある。速さは常に非負の量として扱い、径方向の正方向を明確にすること。落下後の軌道は離脱角の計算に用いない。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
v(θ)=2gR(1−cos⁡θ),cos⁡θleave=23,θleave=arccos⁡(23)≈48.2∘,vleave=2gR3\boxed{v(\theta)=\sqrt{2gR(1-\cos\theta)},\quad\cos\theta_{\rm leave}=\frac23,\quad\theta_{\rm leave}=\arccos\left(\frac23\right)\approx48.2^\circ,\quad v_{\rm leave}=\sqrt{\frac{2gR}{3}}}
problems.proof.analysis

最初の式は接触中の任意の角度での速さを与え、垂直抗力ゼロの条件から離脱角 arccos⁡(2/3)\arccos(2/3) が得られる。この角を代入すると離脱速度は 2gR/3\sqrt{2gR/3} となり、質量は角度条件で消える。