Physic Labs

問題 2

起電力 E\mathcal E の理想直流電源、抵抗 R>0R>0、インダクタンス L>0L>0 の理想コイルを直列に接続する。スイッチを閉じる前のコイル電流はゼロであり、時刻 t=0t=0 にスイッチを閉じる。電流の正方向は電源が押し出す向きとする。内部抵抗を無視し、各素子は時間変化しないものとする。コイルの電圧は電流の時間変化率に比例し、抵抗の電圧降下はオームの法則に従う。(a) キルヒホッフの法則から t≥0t\ge0 の電流 I(t)I(t) を求めよ。(b) 十分時間が経過したときの定常電流 I∞I_\infty を求めよ。(c) 電流が 0.90I∞0.90I_\infty に達する時刻を求め、初期値と長時間後の極限を確認せよ。時間の単位と時定数の次元が整合するように式を示すこと。抵抗が正なので過渡成分は減衰し、電流は定常値へ単調に近づく。電流の正負は冒頭で定めた向きを全計算で保つこと。特に定常値に対する割合で時刻を定義する。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
I(t)=ER(1−e−Rt/L),I(0)=0,I(∞)=I∞=ER,t90=LRln⁡10\boxed{I(t)=\frac{\mathcal E}{R}(1-e^{-Rt/L}),\quad I(0)=0,\quad I(\infty)=I_\infty=\frac{\mathcal E}{R},\quad t_{90}=\frac{L}{R}\ln10}
problems.proof.analysis

枠内の式は過渡電流、二つの極限 I(0)=0I(0)=0 と I(∞)=I∞I(\infty)=I_\infty、および90\%到達時間を示す。時間の尺度は L/RL/R であり、回路の時定数に比例する。