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問題 1

質量 mm の衛星が、質量 MM の孤立した球対称惑星の中心から距離 rr の円軌道を等速で運動する。抵抗と衛星が惑星に及ぼす影響を無視し、万有引力定数を GG とする。惑星の外部重力場は中心に質量が集中した場合と同じとしてよい。衛星に働く力として重力だけを考え、軌道半径は時間的に一定とする。(a) 力を特定し、円軌道の条件を立てよ。(b) 軌道速度 vv と一周に要する周期 TT を導け。(c) 結果が衛星質量 mm に依存するかを明示し、得られた式の次元が速度と時間に一致するかを確認せよ。速さは正のスカラーとして表し、運動方向は円の接線方向である。数値は与えられていないので、答えは定数と与えられた記号を用いた式で示すこと。半径を惑星の表面から測らず、中心からの距離として最後まで用いる。等速運動とは速さが一定でも、速度の向きが変わり続ける運動である。導出では円運動の加速度の向きにも注意すること。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
v=GMr,T=2πr3GM,v,T independent of m,[v]=m s−1, [T]=s\boxed{v=\sqrt{\frac{GM}{r}},\quad T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}},\quad v,T\text{ independent of }m,\quad [v]=\mathrm{m\,s^{-1}},\ [T]=\mathrm{s}}
problems.proof.analysis

枠内の式がそれぞれ軌道速度と周期を表し、どちらも衛星質量 mm に依存しない。次元はそれぞれ速度と時間であり、要求に合う。