問題 1

質量

m

の衛星が、質量

M

の孤立した球対称惑星の中心から距離

r

の円軌道を等速で運動する。抵抗と衛星が惑星に及ぼす影響を無視し、万有引力定数を

G

とする。惑星の外部重力場は中心に質量が集中した場合と同じとしてよい。衛星に働く力として重力だけを考え、軌道半径は時間的に一定とする。(a) 力を特定し、円軌道の条件を立てよ。(b) 軌道速度

v

と一周に要する周期

T

を導け。(c) 結果が衛星質量

m

に依存するかを明示し、得られた式の次元が速度と時間に一致するかを確認せよ。速さは正のスカラーとして表し、運動方向は円の接線方向である。数値は与えられていないので、答えは定数と与えられた記号を用いた式で示すこと。半径を惑星の表面から測らず、中心からの距離として最後まで用いる。等速運動とは速さが一定でも、速度の向きが変わり続ける運動である。導出では円運動の加速度の向きにも注意すること。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

T=\frac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}

problems.proof.analysis

一周の距離は $2\pi r$ なので $T=2\pi r/v$ である。先に導いた速さを代入して整理すれば周期が得られる。