問題 1

小物体を地面から初速度

u

、水平より上向き角

\theta

で投射する。重力場は下向きで大きさ

g

の一様場とし、投射点を原点に取る。空気抵抗と地球の曲率を無視し、

0<\theta<\pi/2

として物体が上昇後に同じ高さへ戻る場合を考える。(a) 初速度を成分に分け、時間に依存する運動を記せ。(b) 飛行時間

T

と最高点の高さ

H

を求めよ。(c) 水平到達距離

R

と、

u

一定のとき最大飛距離を与える角度を導け。水平速度成分は一定で、鉛直方向の速度は重力により時間とともに直線的に変化する。最高点では鉛直速度が瞬間的にゼロとなるが、水平速度は残る。着地時の高さが出発時と同じという条件を用いる。解答では、導出に用いた条件を明示し、式の各項の物理的意味を区別する。単位を確認したうえで、仮定が破れる極限ではなく、問題の適用範囲内で結果の妥当性を判断する。符号と近似の適用範囲を最後まで一貫させ、最終式を基本法則に戻して確かめる。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

\boxed{T=\frac{2u\sin\theta}{g},\quad H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g},\quad R=\frac{u^2\sin2\theta}{g};\quad R_{\max}=\frac{u^2}{g}\text{ at }\theta=\frac{\pi}{4}}

problems.proof.analysis

求める量と最大飛距離の条件をまとめる。最適角は投射点と着地点の高さが等しい場合である。