Physic Labs

問題 2

初め電荷のない容量 CC のコンデンサーを、抵抗 RR および起電力一定の理想直流電源 E\mathcal E に直列接続する。時刻 t=0t=0 にスイッチを閉じ、導線は理想的とし、電源内部抵抗と寄生効果を無視する。電源がコンデンサーを充電する向きを正電流とし、正端子側の極板の電荷を Q(t)Q(t) とする。(a) キルヒホッフの閉回路則を書き、電流と電荷の時間変化を結びつけよ。(b) Q(t)Q(t)、I(t)I(t) と時定数を求めよ。(c) スイッチ直後と十分時間が経った後の値を示し、エネルギー収支を確認せよ。 充電中は抵抗の電圧降下とコンデンサーの電圧の和が常に電源電圧になる。電荷が増えるほどコンデンサー電圧が上がり、電流は減少するので、過渡応答は単調に定常値へ近づく。抵抗でのジュール熱も考慮する。 解答では、導出に用いた条件を明示し、式の各項の物理的意味を区別する。単位を確認したうえで、仮定が破れる極限ではなく、問題の適用範囲内で結果の妥当性を判断する。 符号と近似の適用範囲を最後まで一貫させ、最終式を基本法則に戻して確かめる。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
Q(t)=CE(1−e−t/(RC)),I(t)=ERe−t/(RC),τ=RC;Q(0)=0, I(0+)=ER, Q(∞)=CE, I(∞)=0;Wsrc=CE2, UC=12CE2, WR=12CE2\boxed{Q(t)=C\mathcal E(1-e^{-t/(RC)}),\quad I(t)=\frac{\mathcal E}{R}e^{-t/(RC)},\quad \tau=RC;\quad Q(0)=0,\ I(0^+)=\frac{\mathcal E}{R},\ Q(\infty)=C\mathcal E,\ I(\infty)=0;\quad W_{src}=C\mathcal E^2,\ U_C=\frac12C\mathcal E^2,\ W_R=\frac12C\mathcal E^2}
problems.proof.analysis

枠内の式は時間依存量と時定数を示す。初期無充電の条件を満たす。