国際物理オリンピック · 2021年

問題

問題 1質量 $m_1,m_2$ の物体を、質量のない伸びない糸で摩擦のない固定滑車に通して結び、糸は常に張っているため両物体の加速度の大きさは等しい。 $m_1$ は角度 $\alpha$ の摩擦のない斜面上を滑り、 $m_2$ は自由に垂れ下がる。重力加速度 $g$ は一定で、 $m_2>m_1\sin\alpha$ として $m_2$ が下降する。物体の大きさと抵抗は無視する。(a) 力の図を描き、正方向を定めて各物体にニュートンの運動方程式を立てよ。(b) 加速度 $a$ と張力 $T$ を求めよ。(c) 駆動力がほぼ釣り合う極限を調べよ。斜面に垂直な方向では加速度がないため、垂直抗力は重力の法線成分と釣り合う。糸の張力は両側で同じ大きさであり、斜面に沿う重力成分だけが $m_1$ の運動方向に寄与する。得られた式がこの力のつり合いと両立するかも確認する。解答では、導出に用いた条件を明示し、式の各項の物理的意味を区別する。単位を確認したうえで、仮定が破れる極限ではなく、問題の適用範囲内で結果の妥当性を判断する。符号と近似の適用範囲を最後まで一貫させ、最終式を基本法則に戻して確かめる。解答: 1
問題 2初め電荷のない容量 $C$ のコンデンサーを、抵抗 $R$ および起電力一定の理想直流電源 $\mathcal E$ に直列接続する。時刻 $t=0$ にスイッチを閉じ、導線は理想的とし、電源内部抵抗と寄生効果を無視する。電源がコンデンサーを充電する向きを正電流とし、正端子側の極板の電荷を $Q(t)$ とする。(a) キルヒホッフの閉回路則を書き、電流と電荷の時間変化を結びつけよ。(b) $Q(t)$ 、 $I(t)$ と時定数を求めよ。(c) スイッチ直後と十分時間が経った後の値を示し、エネルギー収支を確認せよ。充電中は抵抗の電圧降下とコンデンサーの電圧の和が常に電源電圧になる。電荷が増えるほどコンデンサー電圧が上がり、電流は減少するので、過渡応答は単調に定常値へ近づく。抵抗でのジュール熱も考慮する。解答では、導出に用いた条件を明示し、式の各項の物理的意味を区別する。単位を確認したうえで、仮定が破れる極限ではなく、問題の適用範囲内で結果の妥当性を判断する。符号と近似の適用範囲を最後まで一貫させ、最終式を基本法則に戻して確かめる。解答: 1
問題 3波長 $\lambda$ の単色光を幅 $b$ の単スリットに垂直入射する。スリットに平行なスクリーンを距離 $L$ に置き、 $L\gg b$ としてフラウンホーファー回折を考える。強度をスリット中心を通る法線からの小角 $\theta$ で観測し、スクリーンの有限寸法など他の端効果は無視する。(a) 開口を微小部分に分け、振幅が打ち消し合う条件を述べよ。(b) 第1暗極小の角度 $\theta_1$ を求めよ。(c) スクリーン上の変位 $y_1$ を導き、これが極大でなく暗線となる理由を説明せよ。各点からの波は同位相で重ね合わされ、経路差による位相のずれが強度を決める。対称な開口の二つの半分を対応点どうしで組にすると、最初の完全な打ち消し条件が得られる。中央では位相差がなく明るい極大となる。解答では、導出に用いた条件を明示し、式の各項の物理的意味を区別する。単位を確認したうえで、仮定が破れる極限ではなく、問題の適用範囲内で結果の妥当性を判断する。符号と近似の適用範囲を最後まで一貫させ、最終式を基本法則に戻して確かめる。解答: 1