問題 2

起電力

E=12.0\,\mathrm V

の理想定電圧源を、抵抗

R=200,Omega

と容量

C=50.0,\mu\mathrm F

のコンデンサーに直列につなぎ、時刻

t=0

に回路を閉じる。コンデンサーは初め無電荷で、導線とスイッチは理想的とする。

q(t)

を電源の正極側につながる極板の電荷、

i(t)=dq/dt

を充電電流とする。(a) 時定数と

q(t),i(t)

を求めよ。(b) コンデンサー電圧が最終値の

90%

に達する時刻と、その時の電流を求めよ。(c) その時刻の蓄積エネルギー、および

t\toinfty

における電荷と電流の極限を求めよ。電源電圧は充電中一定であり、電流の正方向を電源から抵抗を経てコンデンサーへ向かう向きとする。時刻の単位は秒で、電圧を電荷で表す関係は

V_C=q/C

である。スイッチを閉じた後に外部から回路へ加わる電圧変化はないものとする。数値結果は適切な単位を付して示し、極限値は充電が十分進んだ定常状態として解釈する。

problems.proof.stepOf

t_{90}=-RC\ln(0.10)=2.303\times10^{-2}\,\mathrm s,\quad i(t_{90})=0.10E/R=6.00\,\mathrm{mA}

problems.proof.analysis

$V_C=q/C=E(1-e^{-t/RC})$ を $0.90E$ と置くと $e^{-t/RC}=0.10$ となる。このとき電流は初期値の $10%$ であり、電圧の割合を取り違えてはならない。

problems.proof.pitfall. コンデンサー電圧が最終値の90%のとき、電流は初期値の10%である。