問題 2

時刻

t=0

に、初め無充電の静電容量

C

のコンデンサーを、抵抗

R

および起電力

E

の理想電池と直列に接続する。充電方向の電流を正とし、内部抵抗を無視する。

t\geq0

における正極板の電荷

q(t)

、電流

i(t)

、およびコンデンサーに蓄えられるエネルギーを求めよ。抵抗

R>0

、容量

C>0

、起電力

E>0

は一定の理想素子とし、

t=0

にスイッチを閉じ、初期電荷はゼロとする。(a) キルヒホッフの閉回路則から微分方程式を導け。(b) 時定数を明示して

q(t)

と電流を求めよ。(c) コンデンサーのエネルギーを求め、

t=0

および十分大きな

t

での極限を確認せよ。電荷

q

は正極板上の電荷であり、正方向の電流はその増加を意味する。定常状態では抵抗に電流が流れない。なお、以下では指定した理想化と符号規約を全過程で一貫して用いる。途中で求める状態量は、与えられた物理法則を適用して導くこと。特別な数値条件がないため、答えは初期量・定数を用いた記号式で示し、必要な符号と適用範囲も明記する。得られた式は元の関係式に代入して確かめる。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

i(t)=\frac{dq}{dt}=\frac{\mathcal E}{R}e^{-t/(RC)},\qquad U_C(t)=\frac{q^2}{2C}=\frac12C\mathcal E^2\left(1-e^{-t/(RC)}\right)^2

problems.proof.analysis

$q(t)$ を微分すると充電電流が得られる。コンデンサーの電場エネルギーは $q^2/(2C)$ であり、示した式となる。