アジア物理オリンピック · 2025年

問題

問題 1質量 $m$ の台車が摩擦のない直線路上を速さ $u>0$ で進み、静止している質量 $2m$ の台車と一次元弾性衝突する。最初の台車の進行方向を正として、衝突後の各台車の符号付き速度を求めよ。台車を質点とみなし、接触中の水平方向の外力積を無視する。(a) 運動量保存式を立てよ。(b) 弾性衝突の条件から第二の関係式を導き、符号付き速度を求めよ。(c) 運動エネルギーを検算し、速度と速さを混同せずに符号を解釈せよ。衝突後の速度は初期進行方向を正とする代数値であり、負号は反転を表す。接触後は外力の衝撃を受けない。なお、以下では指定した理想化と符号規約を全過程で一貫して用いる。途中で求める状態量は、与えられた物理法則を適用して導くこと。特別な数値条件がないため、答えは初期量・定数を用いた記号式で示し、必要な符号と適用範囲も明記する。得られた式は元の関係式に代入して確かめる。数式の各項について物理量の意味と単位を明確にし、幾何条件または初期条件を最後まで保持する。解答: 1
問題 2時刻 $t=0$ に、初め無充電の静電容量 $C$ のコンデンサーを、抵抗 $R$ および起電力 $E$ の理想電池と直列に接続する。充電方向の電流を正とし、内部抵抗を無視する。 $t\geq0$ における正極板の電荷 $q(t)$ 、電流 $i(t)$ 、およびコンデンサーに蓄えられるエネルギーを求めよ。抵抗 $R>0$ 、容量 $C>0$ 、起電力 $E>0$ は一定の理想素子とし、 $t=0$ にスイッチを閉じ、初期電荷はゼロとする。(a) キルヒホッフの閉回路則から微分方程式を導け。(b) 時定数を明示して $q(t)$ と電流を求めよ。(c) コンデンサーのエネルギーを求め、 $t=0$ および十分大きな $t$ での極限を確認せよ。電荷 $q$ は正極板上の電荷であり、正方向の電流はその増加を意味する。定常状態では抵抗に電流が流れない。なお、以下では指定した理想化と符号規約を全過程で一貫して用いる。途中で求める状態量は、与えられた物理法則を適用して導くこと。特別な数値条件がないため、答えは初期量・定数を用いた記号式で示し、必要な符号と適用範囲も明記する。得られた式は元の関係式に代入して確かめる。解答: 1
問題 3仕事関数 $\Phi$ の金属に、 $h\nu$ > $\Phi$ を満たす周波数 nu の単色光を照射する。損失を無視し、放出電子は非相対論的であると仮定して、アインシュタインの光電効果の式を用いる。h をプランク定数、e > 0 を電子電荷の大きさ、m_e を電子質量とする。最大運動エネルギー K_max、阻止電圧の大きさ V_s、および電子の最大速度を求めよ。単色光を用い、放出電子はそれぞれ光子1個のエネルギーを受け取るとする。電子間相互作用と金属内損失は無視する。(a) 最大エネルギー電子についてエネルギー保存式を立てよ。(b) これを停止させる阻止電圧の大きさを導け。(c) 非相対論近似で最大速度を求め、放出のしきい条件を示せ。 $\nu$ は周波数、 $h$ はプランク定数、 $\Phi$ は電子を取り出す仕事関数である。 $V_s$ は電圧の絶対値として定義する。なお、以下では指定した理想化と符号規約を全過程で一貫して用いる。途中で求める状態量は、与えられた物理法則を適用して導くこと。特別な数値条件がないため、答えは初期量・定数を用いた記号式で示し、必要な符号と適用範囲も明記する。得られた式は元の関係式に代入して確かめる。解答: 1