Physic Labs

問題 2

時刻 t=0t=0 に、初め無充電の静電容量 CC のコンデンサーを、抵抗 RR および起電力 EE の理想電池と直列に接続する。充電方向の電流を正とし、内部抵抗を無視する。t≥0t\geq0 における正極板の電荷 q(t)q(t)、電流 i(t)i(t)、およびコンデンサーに蓄えられるエネルギーを求めよ。 抵抗 R>0R>0、容量 C>0C>0、起電力 E>0E>0 は一定の理想素子とし、t=0t=0 にスイッチを閉じ、初期電荷はゼロとする。(a) キルヒホッフの閉回路則から微分方程式を導け。(b) 時定数を明示して q(t)q(t) と電流を求めよ。(c) コンデンサーのエネルギーを求め、t=0t=0 および十分大きな tt での極限を確認せよ。 電荷 qq は正極板上の電荷であり、正方向の電流はその増加を意味する。定常状態では抵抗に電流が流れない。 なお、以下では指定した理想化と符号規約を全過程で一貫して用いる。途中で求める状態量は、与えられた物理法則を適用して導くこと。特別な数値条件がないため、答えは初期量・定数を用いた記号式で示し、必要な符号と適用範囲も明記する。得られた式は元の関係式に代入して確かめる。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
Rdqdt+qC=E⇒dqdt+qRC=ERR\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\mathcal E\quad\Rightarrow\quad \frac{dq}{dt}+\frac{q}{RC}=\frac{\mathcal E}{R}
problems.proof.analysis

閉回路の式に i=dq/dti=dq/dt を代入し、RR で割る。これは充電を記述する一階線形方程式である。

problems.proof.pitfall. 符号規約を固定し、符号付き量と大きさを区別する。