問題 1

質量

m

の台車が摩擦のない直線路上を速さ

u>0

で進み、静止している質量

2m

の台車と一次元弾性衝突する。最初の台車の進行方向を正として、衝突後の各台車の符号付き速度を求めよ。台車を質点とみなし、接触中の水平方向の外力積を無視する。(a) 運動量保存式を立てよ。(b) 弾性衝突の条件から第二の関係式を導き、符号付き速度を求めよ。(c) 運動エネルギーを検算し、速度と速さを混同せずに符号を解釈せよ。衝突後の速度は初期進行方向を正とする代数値であり、負号は反転を表す。接触後は外力の衝撃を受けない。なお、以下では指定した理想化と符号規約を全過程で一貫して用いる。途中で求める状態量は、与えられた物理法則を適用して導くこと。特別な数値条件がないため、答えは初期量・定数を用いた記号式で示し、必要な符号と適用範囲も明記する。得られた式は元の関係式に代入して確かめる。数式の各項について物理量の意味と単位を明確にし、幾何条件または初期条件を最後まで保持する。

problems.proof.stepOf

problems.proof.prevStep problems.proof.nextStep

v_1\ne u:\quad u+v_1=v_2,\quad v_1+2v_2=u\quad\Rightarrow\quad v_1=-\frac{u}{3},\quad v_2=\frac{2u}{3}

problems.proof.analysis

$v_1=u$ は速度が変化しない自明解であり、求める衝突後の解ではない。もう一方の解と運動量保存から $v_1=-u/3$ 、 $v_2=2u/3$ を得る。軽い台車は反発して逆向きに進む。