Physic Labs

問題 1

質量が等しい2つの小球(質量 mm)が、同じ点から長さ ll の糸で吊るされ、初めは接している。各小球に等しい電荷 qq を与えると、互いに反発し、鉛直方向から小さな角 θ\theta の位置でつり合う。qq を mm、ll、θ\theta で表せ。 ここで g=9.8 m s−2g=9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}}、k=1/(4πϵ0)k=1/(4\pi\epsilon_0) はクーロン定数である。球の大きさは中心間距離に比べて無視し、斥力は水平、2本の糸は鉛直から角度 θ\theta だけ対称に傾く。(a) 力のつり合いから電気力を m,g,θm,g,\theta で表せ。(b) 中心間距離を l,θl,\theta で表し、与えられた量による正確な電荷を求めよ。(c) theta≪1\\theta\ll1 rad で小角近似式を導き、次元を確認せよ。 角度は十分小さいが、厳密式では近似を用いず、中心間距離を使う。電荷は両球で同じ符号・同じ大きさである。 数式の各項について物理量の意味と単位を明確にし、幾何条件または初期条件を最後まで保持する。
problems.proof.stepOf
problems.proof.prevStepproblems.proof.nextStep
FC=mgtan⁡θ,r=2lsin⁡θ,q=2lsin⁡θmgtan⁡θk≈2lθ3/2mgk\boxed{F_C=mg\tan\theta,\quad r=2l\sin\theta,\quad q=2l\sin\theta\sqrt{\frac{mg\tan\theta}{k}}\approx2l\theta^{3/2}\sqrt{\frac{mg}{k}}}
problems.proof.analysis

厳密解を小角極限と照合し、平方根内の量が電荷の二乗の次元を持つことを確認する。